SG002 Geschwindigkeit im Unterschied zu Tempo ©
H. Hübel Würzburg 2013
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Impres-sum |
Du hast es wahrscheinlich in der Grundschule so gelernt:
Geschwindigkeit soll sein: zurückgelegter Weg dividiert durch die dafür benötigte Zeit.
Leider stimmt das nicht, aus verschiedenen Gründen:
1. So kann man keine Geschwindigkeit definieren, sondern nur das, was der Tachometer im Moped oder Auto anzeigt. Es wird "Tempo" genannt. Auch in anderen Sprachen gibt es einen besonderen Namen dafür, z.B. "speed" im Englischen. Geschwindigkeit heißt dort "velocity".
2. Auch für den Begriff Tempo funktioniert das so nur bei einer gleichförmigen Bewegung, also bei einer Bewegung mit konstantem Tempo.
Was ist im Unterschied dazu "Geschwindigkeit"? Wie kann man sie allgemein definieren?
Geschwindigkeit (engl. velocity) umfasst einerseits "Tempo" (speed), andererseits auch eine Richtungsangabe, nämlich die Richtung, in die sich ein Körper bewegt. Eine Größe, die durch Richtung und Betrag gekennzeichnet ist, ist ein Vektor. Geschwindigkeit als Vektor heißt übrigens im Englischen "velocity"; daher das Symbol v für die Geschwindigkeit.
Die Geschwindigkeit v ist ein Vektor! |
Tempo (engl. speed) ist der Betrag des Geschwindigkeitsvektors v (velocity), also |v|. Tempo kann nie negativ sein. Ganz gleich in welche Richtung sich ein PKW bewegt, vom Tacho lassen sich nur positive Werte oder 0 ablesen, also das Tempo.
Auch bei einer linearen Bewegung, längs einer Fahrbahn z.B., müssen zwei Richtungen unterschieden werden. Deswegen sollte vor ihrer Untersuchung ein Koordinatenursprung und eine positive Richtung vereinbart werden. Die positive Richtung heißt dann häufig die x-Richtung. Befindet sich der Körper in einer Position in positiver Richtung, ist die x-Koordinate positiv. Befindet er sich auf der anderen Seite des Ursprungs, ist die x-Koordinate negativ.
Ganz ähnlich ist es mit der Geschwindigkeitskoordinate (auch velocity genannt), die dann vx oder kurz v heißt: Bei einer Bewegung in positive x-Richtung ist die Geschwindigkeitskoordinate v positiv, bei einer Bewegung in negative x-Richtung ist die Geschwindigkeitskoordinate v negativ. Bei einer linearen Bewegung kann man also die Richtung des Geschwindigkeitsvektors mit dem Vorzeichen der Geschwindigkeitskoordinate v kennzeichnen.
Für einen Gleiter auf der horizontalen
Luftkissenfahrbahn wird hier veranschaulicht:
Bei einer eindimensionalen (linearen) Bewegung und nach Wahl eines Koordinatensystems mit einer positiven Richtung gilt: Je nach Bewegungsrichtung (Richtung des Geschwindigkeitsvektors v) hat die Geschwindigkeitskoordinate v positives oder negatives Vorzeichen. |
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Noch einmal: Positive und negative Geschwindigkeit(-skoordinate) bei einer linearen Bewegung |
Du könntest dich an einer Fahrbahn leicht davon überzeugen, wenn ein Geschwindigkeitsmesser (z.B. ein Sonarmeter) zur Verfügung stünde. Bewegt sich das Fahrzeug in positive Richtung, ist auch die Geschwindigkeitsanzeige positiv, bewegt es sich in negative Richtung, ist die Geschwindigkeit negativ. Wenn das Fahrzeug ruht, ist sie natürlich 0. Am Vorzeichen der Geschwindigkeit kannst du die Bewegungsrichtung erkennen.
Abb. 1: Das
ist der t-v-Graph der Bewegung einer Person, aufgenommen
mit dem Sonarmeter. Das Vorzeichen der
Geschwindigkeitskoordinate verrät die Bewegungsrichtung. Wenn
die Geschwindigkeit v = 0 ist, ruht die Person. Warum
verläuft der t-v-Graph zu manchen Zeiten horizontal? |
Wie kann nun eine Geschwindigkeit (Vektor!) definiert werden?
Betrachte zwei Zeitpunkte:
t1 und t2. Von t1 nach t2
vergeht die Zeitdauer Δt = t2 - t1. Zum
Zeitpunkt t1 befinde sich der Körper beim Ort x(t1),
zum Zeitpunkt t2 befinde er sich am Ort x(t2).
Der Ort hat sich also von
t1 bis t2
verändert um eine "Verschiebung" Δx = x(t2)
- x(t1). Δx heißt
auch "Ortsänderung" *). |
Dann wird die Geschwindigkeit v definiert als
v = Δx/Δt |
Die Geschwindigkeit v gibt also an, wie sich der Ort x in der Zeiteinheit verändert.
Wenn sich die Geschwindigkeit in dem Zeitintervall Δt ändert, wird dadurch aber nur eine Durchschnittsgeschwindigkeit vD beschrieben. Die Momentangeschwindigkeit (kurz: Geschwindigkeit) erhält man, wenn man das Zeitintervall Δt so klein wählt, dass sich in ihm die Geschwindigkeit quasi nicht ändert.
v = Δx/Δt , falls Δt genügend klein |
Geschwindigkeit ist Ortsänderung/Verschiebung Δx pro Zeitabschnitt Δt , falls Δt genügend klein |
(v und Δx sind i.A. Vektoren)
Je kürzer das Zeitintervall Δt, desto besser
stimmt die Durchschnittsgeschwindigkeit vD mit
der Momentangeschwindigkeit v überein.
(Der Tacho zeigt natürlich das Tempo an, das nur bei positiver Geschwindigkeit mit der Geschwindigkeit übereinstimmt.) |
Du erkennst den Unterschied zur Grundschul-Definition:
Bei einer linearen Bewegung kann man die Vektoreigenschaft wieder durch eine einzige Koordinate beschreiben. Bewegt sich der Körper in positive Richtung von x1 nach x2 (jeweils Koordinaten), ist die Verschiebung Δx = x2 - x1 positiv, dementsprechend auch der Quotient Δx/Δt, und damit auch die Geschwindigkeitskoordinate v = Δx/Δt. Bewegt sich der Körper in negative Richtung von x1 nach x2, ist die Verschiebung Δx = x2 - x1 negativ, dementsprechend auch der Quotient Δx/Δt, und damit auch die Geschwindigkeitskoordinate v = Δx/Δt. Daran siehst du auch, dass man die Verschiebung nicht "Strecke" nennen sollte. Eine Strecke bzw. Streckenlänge kann nie negativ sein! Mit einer Aufgabe erklärst du dir den Unterschied zwischen Ort x und Weg s/Strecke s.
Bei einer linearen Bewegung (eindimensionale Bewegung) gibt es noch eine weitere Vereinfachung: In der folgenden Abbildung wird dazu ein t-x-Diagramm einer Bewegung dargestellt.
Der Quotient Δx/Δt ist dann gerade die Steigung
des t-x-Diagramms. Diese Deutung der Geschwindigkeit v
(Geschwindigkeitskoordinate) als Steigung des t-x-Diagramms ist
für viele Überlegungen äußerst praktisch. Du brauchst nur
feststellen, ob der t-x-Graph steigt oder fällt; schon kennst du
das Vorzeichen der Geschwindigkeit (positiv oder
negativ) und die Bewegungsrichtung. Wie sieht das konkret bei negativer Geschwindigkeit aus? |
Bei linearen Bewegungen ist die Geschwindigkeit v (v-Koordinate) gleich der Steigung des t-x-Graphen v = Δx/Δt. |
Gehe immer von folgendem Durchlaufssinn aus: Die Hand zeigt nach rechts in Richtung der Fingerspitzen:
große positive Steigung - schnelle Bewegung vorwärts |
|
kleine positive Steigung - langsamere Bewegung vorwärts | |
Steigung 0 - der Körper ruht | |
negative Steigung - Bewegung rückwärts |
. |
Wesen |
Vorzeichen |
Information über |
Geschwindigkeit(svektor) v | Vektor | (sinnlos) | Betrag und Richtung |
Geschwindigkeit(skoordinate) v (bei linearen Bewegungen) | Koordinate des Geschwindigkeitsvektors v | positiv, negativ und 0 | Betrag und Richtung bei linearen Bewegungen, durch das Vorzeichen ausgedrückt |
Tempo | Betrag des Geschwindigkeitsvektors v | nie negativ | nur über die "Schnelligkeit"; keine Richtungsinformation |
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Die Einheit von
Geschwindigkeit (velocity) wie von Tempo (speed)
ist 1 m/s bzw. 1 km/h . Die Umrechnung erfolgt so: 1 km/h = 1000 m/h = 1000/3600 m/s = 1/3,6 m/s und damit 1 m/s = 3,6 km/h |
Wie man von der Geschwindigkeit zur Ortsänderung Δx
kommt, kannst du hier bzw. hier
nachlesen.
Ergänzung: negative Geschwindigkeit
Wähle 2 beliebige Punkte A und B auf dem Graphen.
Z.B. erfolgt die Bewegung im
Laufe der Zeit von A nach B. Verbinde nun A und B
durch eine Kette von Pfeilen in Richtung der
zugehörige Koordinatenachsen oder entgegengesetzt. Der Pfeil
wird positiv gezählt, wenn er gleich gerichtet ist mit der
Koordinatenachse, andernfalls negativ. Deshalb haben in der
Zeichnung Δt
und Δx
unterschiedliches Vorzeichen. Ihr
Quotient v = Δx/Δt ist
negativ, genauso wie die Steigung des t-x-Diagramms. Das gleiche Verfahren führte oben zur positiven Geschwindigkeit und Steigung. |
Wie kann man in der schulischen Mechanik bei eindimensionalen
Bewegungen die (Momentan-)Geschwindigkeit messen?
In der Mathematik ist Strecke eine
besondere geometrische Figur bzw. eine besondere Punktmenge. Sie hat als
Maß die Streckenlänge, z.B. 10 cm. Diese ist immer nichtnegativ.
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( September 2013; Oktober 2023 ergänzt )