SG141 Das Flächenverfahren der Mechanik ©
H. Hübel Würzburg 2013
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Das Flächenverfahren ist eine anschauliche Methode, um in der Bewegungslehre bei einfachen Zeitabhängigkeiten Integrationen durchzuführen. So kommt man bei der in der Schule meist konstanten Beschleunigung vom t-a-Diagramm für einen Zeitabschnitt Δt von der Anfangsgeschwindigkeit v0 zu Beginn des Zeitintervalls zur Geschwindigkeit v am Ende des Zeitintervalls mittels v = v0 + Δv, wobei die Geschwindigkeitsänderung Δv gerade der Rechtecksfläche unter dem t-a-Diagramm im Zeitabschnitt Δt entspricht. Ganz entsprechend kommt man im t-v-Diagramm vom Anfangsort x0 zu Beginn des Zeitintervalls Δt zum Ort x am Ende des Zeitabschnitts durch x = x0 + Δx, wobei die Ortsänderung Δx gerade der Dreiecks- oder Trapezfläche zwischen dem t-v-Graphen und der Zeitachse im Zeitabschnitt Δt entspricht*). Das lässt sich für solch einfache Fälle leicht plausibel machen oder beweisen; für allgemeinere Fälle, wenn a oder v nicht konstant sind, lässt es sich plausibel machen, indem die Zeitabschnitte Δt so klein gewählt, dass in ihnen a bzw. v zumindest in guter Näherung konstant sind.
Von a zu x mit dem
Flächenverfahren, von x zu a mit der Steigung
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Das Verfahren ist leicht anwendbar und leicht zu merken, berücksichtigt immer korrekt die jeweiligen Anfangsbedingungen v0 und x0, kann auch in komplexeren Fällen (z.B: Überholvorgängen mit Anfangsbedingungen) geometrisch ohne Formelkenntnis angewendet werden, und ermöglicht es, von dem leichter zu durchschauenden t-v-Diagramm zum komplexeren t-x-Diagramm zu kommen. |
*) Hier wird etwas gemogelt:
Eine Fläche ist immer positiv, dagegen können Ortsänderung
Δx und Geschwindigkeitsänderung Δv
beide Vorzeichen haben. Wenn man sich aber beim Ansatz der "Fläche" gar
nicht um die Vorzeichen kümmert, sondern formal mit den "Seiten" des
Rechtecks, Δv und Δt z.B., rechnet, ganz gleich welches Vorzeichen diese
haben, kommt man zum vorzeichenrichtigen Ergebnis. Beispiel: negatives
Δv < 0, positives Δt. Die Fläche im mathematischen Sinn wäre /Δv/·Δt
= - Δv·Δt. Das kann nicht verwendet werden. Dagegen ist
Δx = Δv·Δt genauso wie die Ortsänderung Δx in diesem Fall
negativ. Du kannst den Begriff "Flächenverfahren" auch als
eine Merkregel auffassen. Du erhältst das richtige Ergebnis für die Ortsänderung
Δx, wenn
du Δv und Δt mit ihrem jeweiligen
Vorzeichen miteinander multiplizierst.
In der Zeichnung oben sind Δv und Δt positiv. Die Fläche
bestimmt eigentlich den Weg s im Zeitintervall Δt. Dieser stimmt hier
aber mit der Ortsänderung Δx überein: Δx = Δv·Δt. Die Problematik
entspricht dem Unterschied zwischen Fläche unter einem Funktionsgraphen
und dem Integral.
Wenn man hier eine Betragsbildung vorschlägt, wird man
i.A. keine Ortsänderung Δx
erhalten, sondern eine Wegänderung Δs.
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( September 2013 )