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A Was ist die Flächengeschwindigkeit?

In einem Zeitabschnitt Δt überstreicht der Fahrstrahl (der Radiusvektor r) von der Sonne bis zum Planeten eine Fläche ΔA. Unter Flächengeschwindigkeit versteht man das Verhältnis ΔA/Δt, also so etwas wie "überstrichene Fläche pro Zeiteinheit". Wenn man mit Hilfe der Bogenlänge b = r·Δφ für sehr kleine Zeitintervalle Δt bzw. sehr kleine Winkeländerungen Δφ die vom Fahrstrahl überstrichene Fläche ansetzt, erhält man ungefähr ΔA = 1/2·r·r·Δφ  (1/2  x  Radius  x  Bogenlänge). Damit ergibt sich ΔA/Δt = 1/2 · r2 · ω mit der Winkelgeschwindigkeit ω = Δφ/Δt. Entsprechendes gilt auch im Limes Δt => 0.

Diese Flächengeschwindigkeit ist also konstant.

Die Flächengeschwindigkeit hängt mit dem Betrag des so genannten Drehimpulses des umlaufenden Planeten bzgl. der Sonne zusammen. Aus der Definition des Drehimpulses, auf die hier nicht näher eingegangen werden soll (L = r x p), ergibt sich: Dieser Drehimpuls steht senkrecht auf dem Fahrstrahl (r) und dem Geschwindigkeitsvektor (also auch dem Impulsvektor p). L steht also senkrecht auf der Bahnebene, sagen wir in z-Richtung. Für seinen Betrag gilt: /L/ = m r²ω = 2·m·ΔA/Δt mit der Planetenmasse m, dem momentanen Bahnradius r und der Winkelgeschwindigkeit ω.

B Worin besteht die Aussage des Gesetzes?

1. Der Drehimpuls L ist konstant. Es gibt kein Drehmoment M, das den Drehimpuls L verändert, weder der Richtung nach (d.h. die Lage der Bahnebene senkrecht zu L bleibt unverändert), noch dem Betrag nach (d.h. die Winkelgeschwindigkeit ω kann nur in einer bestimmten Weise mit dem Radius r zusammenhängen.)

2. In der Nähe des Perihels (sonnennächster Punkt der Bahn) muss die Winkelgeschwindigkeit ω des umlaufenden Planeten größer sein als in der Nähe des Aphels (sonnenfernster Punkt der Bahn): Der Winter ist etwas kürzer als der Sommer. (Dass es im Winter in der Regel kälter ist als im Sommer liegt nicht daran, sondern an unterschiedlichen Einfallswinkeln der Sonnenstrahlung.)

C Welche physikalischen Folgerungen ergeben sich aus dem 2. Kepler-Gesetz:

1. Die wirkende Kraft ist eine reine Zentralkraft. Sie hat keine Komponenten in φ oder in z-Richtung. Denn diese würden Drehmomente  M erzeugen (Hebelarme jeweils r), die den Drehimpulsvektor ändern, wie anschaulich einsichtig ist (Abb.). Die Zentralkraft bewirkt kein Drehmoment (verschwindender Hebelarm). 2. Die wirkende  Kraft kann nicht dafür sorgen, dass sich die Planeten von Umlauf zu Umlauf immer schneller oder immer langsamer um die Sonne bewegen. Die Umlaufszeit bleibt konstant und damit auch die Energie des Planeten: Eine Zentralkraft ist ja auch eine konservative Kraft, für die der Energieerhaltungssatz gilt. Hinweis: Eine reine Zentralkraft ist auch aus Symmetriegründen naheliegend. Ähnlich symmetrisch wäre nur noch eine azimutal wirkende Kraft (mit geschlossenen Feldlinien) um die Sonne herum. Während uns eine solche Kraft ungewöhnlich erscheinen würde (wir haben ja längst von der Gravitationskraft gehört), glaubte noch Kepler in Unkenntnis von Newtons Mechanik, dass die Planeten gerade durch solche azimutalen Kräfte um die Sonne "herumgewirbelt" werden.

Üblicherweise ist der Begriff Drehimpuls in der Schule unbekannt zu dem Zeitpunkt, wenn die Kepler-Gesetze behandelt werden. Ein Teil dieses Textes wird also an der Stelle unverständlich bleiben. Nach vielen Lehrplänen soll jedoch die Drehung starrer Körper behandelt werden. Von dort ist dann die Definition des Drehimpulses bekannt und der dem 2. NG entsprechende Zusammenhang zwischen Änderungsgeschwindigkeit des Drehimpulses dL/dt und dem Drehmoment M. Es könnte sinnvoll sein, dort noch einmal die Kepler-Bewegung aufzugreifen. Obwohl die entsprechenden Gesetze für die Rotation starrer Körper behandelt werden, lassen sie sich auf den Umlauf von Punktmassen übertragen. Also

(1)  L = Θ ω      wobei das Trägheitsmoment für eine Punktmasse m im Abstand r vom Bezugspunkt  Θ = mr²  .    Das begründet L = mr² ω . Daraus folgt  dA/dt = m/2·L  = konst.

(2) Wenn also die Flächengeschwindigkeit dA/dt  konstant ist, muss der Drehimpuls konstant bleiben. Geändert werden könnte er durch ein Drehmoment M :  dL/dt = M (analog zum 2. Newton-Gesetz: dp/dt = F )

Zu einer radialen Komponente der Kraft würde verschwindender Hebelarm gehören. Sie kann also keinen Beitrag zum Drehmoment liefern, wohl aber eine z-Komponente  (r·F_z ) und eine azimutale Komponente  (r·F_f ) mit den jeweiligen Hebelarmen r. Wenn der Drehimpuls konstant ist, müssen also F_z und F_f verschwinden. Der Flächensatz ist allein mit einer Radialkraft verträglich!

In der Literatur findet man auch formale Nachweise für das Verschwinden einer azimutalen und axialen Komponente von Beschleunigung und Kraft in Zylinderkoordinaten. Dort erhält man einen Ausdruck für die azimutale Beschleunigung bzw. Kraft, der gleich der Ableitung der konstanten Flächengeschwindigkeit, also 0, ist.