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| 3. Kepler-Gesetz: Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten um denselben Zentralkörper verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen ihrer Bahnellipsen. |
A Worin besteht die Aussage des Gesetzes?
1. Je größer die große Halbachse a ist, desto größer ist die Umlaufszeit T. Es gilt ein bestimmtes Potenzgesetz.
2. Die Umlaufszeiten T für jeden Umlauf sind für einen Planeten mit einer bestimmten großen Halbachse a konstant.
B Welche physikalischen Folgerungen ergeben sich aus dem 3. Kepler-Gesetz:
1. Die wirkende Kraft muss eine 1/r2-Abhängigkeit haben. Sie entspricht dem bekannten Gravitationsgesetz. Das lässt sich auch mathematisch leicht herleiten, wenn man von der leichten Exzentrizität absieht (das Ergebnis gilt auch bei Berücksichtigung der Exzentrizität):
Die Gravitationskraft wirkt nämlich als Zentripetalkraft:
(1) mrω2 = FG(r)
(2) andererseits gilt T2 prop r3, also auch ω2 prop r -3
also FG(r) prop m·r·r -3 = m·r -2.
Wegen actio gegengleich reactio muss die Masse des Zentralkörpers Ms (der Sonne) in gleicher Weise eingehen wie die Masse m des umlaufenden Planeten, also
| FG(r) = G·Ms·m /r2 |
mit der Gravitationskonstanten G.
Auch die spezielle Ellipsenform der Bahn (1. Kepler-Gesetz) ist nur mit einem Gravitationsgesetz dieser Form verträglich (Simulation mit dem PC-Programm KEPLER).
2. Zu einer bestimmten großen Halbachse gehört eine bestimmte mittlere potenzielle und mittlere kinetische Energie. Wegen des Energieerhaltungssatzes gehört also eine bestimmte große Halbachse bzw. eine bestimmte Umlaufszeit zu einer bestimmten konstanten Energie des Planeten:
| Die Umlaufszeit T eines Planeten ist durch seine Energie E bestimmt. |