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Nachweis des Zusammenhangs zwischen spezifischer Energie und Umlaufszeit

Vgl. exakte Herleitung

Bei einer Kreisbahn setzt sich die Gesamtenergie eines umlaufenden Körpers aus potenzieller und kinetischer Energie zusammen. Dabei gilt der Virialsatz: E_pot = - 2.E_kin; die kinetische Energie ist schließlich positiv, die potenzielle negativ. Die Gesamtenergie ist also E_ges = E_pot + E_kin = E_pot - 1/2 E_pot = 1/2 E_pot . Bei einem Bahnradius r ergibt sich also

E = E_ges = - G·M_s·m / 2r.

• M_s : Masse des Zentralkörpers
• m : Masse des umlaufenden Planeten.

Es ist plausibel, dass bei einer leichten Abweichung von der Kreisbahn zumindestens genähert eine entsprechende Beziehung gilt, wenn der Bahnradius durch die große Halbachse a ersetzt wird.

Die Herleitung zeigt, dass dies auch allgemein bei Kepler-Ellipsen so gilt. Also

E = - G·M_s · m / 2a      

Die spezifische Energie E/m ist damit allein durch die große Halbachse a bestimmt.

Vergleicht man jetzt die spezifische Energie E/m  eines beliebigen Planeten der Masse m mit der spezifischen Energie der Erde E_e/m_e, so erhält man also

(E/m) / (E_e/m_e) = a_e/a        

und mit dem 3. Kepler-Gesetz

T² / T_e² = a³ / a_e³

Es ergibt sich also mit  a_e³ / a³ = T_e² / T²  bzw.   a_e / a = T_e^2/3  /  T^2/3  

Die spezifischen Energien E/m verhalten sich umgekehrt wie die 2/3-Potenzen der Umlaufszeiten.