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Temperatur in der Schule

vgl. auch Was ist Temperatur, was Entropie?

Es sind verschiedene Definitionen der Temperatur in der Schule in Gebrauch (SD..: schulische Definition):

(SD1) Temperatur ist, was das Thermometer misst.

Darauf läuft es hinaus, wenn die Wärmelehre mit der Besprechung von Thermometern begonnen wird. Das ist eine praktikable, aber auch für die Schule etwas unbefriedigende Definition. Insbesondere ist für die Schüler kein Anlass erkennbar, die Anzeige nicht - wie in der Umgangssprache - "Wärme" zu nennen.

(SD2) Temperatur ist ein objektives Maß für den "Wärmezustand" eines Systems.

Das ist der traditionelle Weg. "Wärmezustand" (Betonung auf Zustand; eigentlich müsste es "thermischer Zustand" heißen) kann in der Schule wohl nicht exakt definiert werden. Das ist aber auch verzichtbar. "Wärmezustand" sollte aber in Zusammenhang gesetzt werden mit:

• "heiß - kalt"
• Je höher die Temperatur, desto mehr Teilchen sind in höhere Energiezustände angeregt. (Bei Gas, Flüssigkeit, Kristall: desto mehr Teilchen haben eine höhere Energie in der ungeordneten Bewegung.)
• Je tiefer die Temperatur, desto weniger Teilchen haben eine höhere Energie als die Grundzustandsenergie.

  Wie gesagt: Dabei ist immer von der Gesamtenergie E eines der Teilchen die Rede, die - je nach System - Photonenenergie (Hohlraumstrahlung), kinetische Energie (ideales Gas), kinetische und potenzielle Energie (reales Gas, Molekülgase), magnetische Energie (Spinsystem) etc. sein kann.

• Je höher die Temperatur im Vergleich zu der eines zweiten Körpers in thermischem Kontakt, desto mehr Energie fließt bei sonst gleichen Bedingungen (also z.B. in gleicher Zeit) vom heißen zum kalten Körper.

Die folgenden Aspekte überfordern wohl die Schüler, wenn nicht Entropie als Begriff explizit behandelt wird (man beachte: Entropie ist ein Maß für die Zahl der erreichbaren Zustände):

• Je höher die Temperatur, desto weniger Entropieänderung ΔS tritt ein bei derselben Wärmezufuhr ΔQ
• Je höher Temperatur, desto größere Wärmezufuhr ΔQ ist zur gleichen Entropieänderung ΔS nötig.

Es genügt  m.E. für die Schule, die ersten vier Punkte in den Raum zu stellen. Insbesondere erscheint auch der Hinweis sehr nützlich, dass bei höherer Temperatur mehr Teilchen eines Systems in höhere Energiezustände (der Gesamtenergie) angeregt sein können, dass "mehr Teilchen eines Systems eine höhere Energie haben".

Dabei ist es offenbar gleichgültig, um welche Energie es sich handelt. Das könnte kinetische Energie sein wie bei einem idealen Gas, das ja keine andere Energie haben kann. Das könnte die Summe aus kinetischer und potentieller Energie sein wie bei einem realen einatomigen Gas oder bei Molekülschwingungen eines zweiatomigen Gases, deren Mittelwerte bei harmonischen Kräften gerade gleich groß sind und damit in gleicher Weise von der Temperatur abhängen. Das könnte magnetische Energie sein wie im einfachen System des Programms ENTROPIE, wo es keine kinetische Energie und keine Teilchenbewegung gibt.

(SD3) Temperatur ist ein Parameter, der die Aufnahme und Abgabe von Wärme im thermischen Gleichgewicht bei Kontakt zwischen zwei Systemen regelt. Dies entspricht der thermodynamischen Definition der Temperatur (D1a). Das Argument kann die Vorstellung von Temperatur unterstützen; bleibt aber recht abstrakt.

(SD4) Die Temperatur T ist ein Parameter, der bestimmt, wie die Energien von Teilchen im thermischen Gleichgewicht verteilt sind. Je höher die Temperatur T, desto mehr Teilchen werden in höhere Energien angeregt, oder in desto höhere Energien werden Teilchen angeregt. Man kann auch sagen "desto höher ist im Mittel die Energie eines Teilchens".

Diese Definition präzisiert (SD2) und entspricht im Wesentlichen (D1b).

Etwas vager: "Temperatur T ist ein Maß dafür, "welche (mikroskopischen) Energien im thermischen Gleichgewicht besetzt werden können."

Ich würde an der Schule die Definition (SD2) bevorzugen und sie später durch (SD4) ergänzen.

Warnungen:

1. Nicht als Temperatur-Definition verwendet werden sollte: "Temperatur wird definiert als Maß für die mittlere kinetische Energie eines Teilchens", obwohl die Vorstellung sehr nützlich ist, dass bei höherer Temperatur Teilchen in schnellerer ungeordneter Bewegung sind. Das entspricht ja den Definitionen (D1b) und (SD4). Die Behauptung mit dem starken Bezug auf die kinetische Energie ist überflüssig, da es nur geringfügig schwieriger ist, gemäß (SD4) allgemeine Energien bei den angeregten Zuständen ins Spiel zu bringen, wie es die Thermodynamik verlangt.

Statt zu sagen

"T ist ein Maß für mittlere kinetische Energie eines Teilchens im thermischen Gleichgewicht. Je höher die Temperatur, desto höher ist die mittlere kinetische Energie" (Aussagen, die für ein ideales Gas als Aussage über die mittlere kinetische Energie eines Teilchens halbwegs richtig sind),

kann man, nur geringfügig weniger griffig (dafür aber verallgemeinerungsfähig und nicht ein Verständnis blockierend), die Definition (SD4) verwenden.

Es gibt noch eine sprachliche Schwierigkeit bei der häufig in Schulbüchern verwendeten Definition ("Temperatur als Maß für die mittlere kinetische Energie der Teilchen"): Das klingt so, als sollte die kinetische Energie aller Teilchen eines Systems betrachtet werden (also ihre Summe) und davon sollte dann ein Mittelwert genommen werden. Genau genommen ist dann nicht der Unterschied zur inneren Energie (als Summe der Energien aller Teilchen) erkennbar, weil der Mittelwert nur eines Wertes mit dem Wert übereinstimmt. Tatsächlich nimmt man den Mittelwert der Energien jedes einzelnen der Teilchen, wie es eine Definition im Sinne von "Temperatur als Maß für die mittlere Energie eines Teilchens des Systems" verlangt.

2. Wenn man Innere Energie U und Temperatur T gegeneinander abgrenzen möchte, ist es nicht hilfreich, sich auf eine Unterscheidung von Innerer (Gesamt-)Energie U und mittlerer (kinetischer oder Gesamt-) Energie <E> als Maß für T zu beschränken, da ja gilt: U = <E>·N (evtl. bis auf thermisch irrelevante Anteile; i.A. <E> mittlere Gesamtenergie eines Teilchens des Systems),  wenn die Teilchenzahl N konstant ist, wie das in den schulischen Beispielen häufig der Fall ist. Bei fester Teilchenzahl N sind U und <E> proportional zueinander und hängen, auch beim idealen einatomigen Gas,  in der gleichen Weise von T ab. Wenn es nur ideale Gase gäbe, wären beide ein Maß für die mittlere Energie eines Teilchens, U auch noch für die Teilchenzahl. Es ist dann in der Schule kaum einzusehen, dass man zwei verschiedene Begriffe U und T für "das fast Gleiche" benötigt.

Die Wesensverschiedenheit beider Begriffe bemerkt man erst, wenn man Systeme mit unterschiedlichen Teilchenzahlen, aber gleicher Temperatur oder aber gleicher Innerer Energie, vergleicht. Dann wird auch evident, dass U eine extensive Größe ist, die von der Teilchenzahl abhängt, T aber eine intensive, die unabhängig von der Teilchenzahl ist. Mit dieser wesentlichen Aussage verträglich ist es, dass U die gesamte Energie (egal ob kinetische oder potenzielle oder gar eine ganz andere) des Systems misst, und T ein Parameter ist, der den "Wärmezustand" jedes beliebigen Teils des Systems misst, wenn dieser mit dem Rest im thermischen Gleichgewicht ist.

Mit zwei "Modellgasen" mit 3 bzw. 5 Teilchen gleicher mittlerer Energie pro Teilchen habe ich das durch einfache Kopfrechnungen meinen Schülern klar gemacht. Man verwende dazu einfache, wenn auch unrealistische Zahlenwerte für einen bestimmten Zeitpunkt:

(Es handelt sich offenbar um kein ideales Gas, da potenzielle Energien vorliegen, die mit gegenseitigen Kräften zusammenhängen.)

3. Die Betonung des Wortteils "kinetischer" Energie im Unterschied zu (mittlerer) potenzieller Energie ist zudem verfehlt, da ein ideales einatomiges Gas ja nur kinetische Energie besitzt. Von einer Betrachtung des idealen Gases her kann man überhaupt keine Aussage machen, wie sich eine mittlere potenzielle Energie verhalten würde. Darüber macht in vielen Fällen der "Virialsatz" Aussagen. Wie auch die Überlegungen zum Programm ENTROPIE zeigen, geht es in der Statistischen Mechanik um die Gesamtenergie E der Einteilchen-Zustände.

4. Vielfach wird aus einem missverstanden Verhalten der mittleren kinetischen Energie fälschlich auf das Verhalten der Temperatur geschlossen. Dabei wird nicht beachtet,

• dass dort, wo ein System kinetische und potenzielle Energie besitzt, beide im thermischen Mittel häufig gleiche Temperaturabhängigkeit aufweisen,
• dass in die Quantentheorie (die ja eigentlich der Statistischen Mechanik zugrundeliegt) ohnehin nur Eigenzustände der Gesamtenergie eingehen,
• dass bei harmonischen Kräften die Mittelwerte von E_kin und E_pot sogar exakt gleich sind (wie der Virialsatz behauptet) und damit mit Sicherheit die gleiche Temperaturabhängigkeit besitzen.

5. Vielfach wird auch fälschlich die Konstanz der Temperatur beim Sieden oder Schmelzen dadurch erklärt, dass während des Schmelzens oder Siedens durch Energiezufuhr nur die mittlere potenzielle Energie gesteigert werde, die mittlere kinetische Energie hingegen konstant bleibe. Wie Sie wissen, kann man in dynamischen Systemen potenzielle Energie nur steigern (bis zur Ablösung eines Teilchens), indem man gleichzeitig die kinetische Energie erhöht! Wesentlich ist, dass bei solchen Phasenübergängen die schnellsten Teilchen (mit der höchsten Energie) aus der einen Phase (Teilsystem A) in die andere (Teilsystem B) abwandern. Die um die Bindungsenergie geänderte (konstante) Grundzustandsenergie für die zweite Phase hat keinen Einfluss auf die Besetzungszahl-Verhältnisse bzw. die mittlere Energie eines Teilchens der Phase A. Beide Teilsysteme müssen auch gleiche Temperatur haben, weil sie in thermischem Kontakt miteinander stehen.

6. Zudem gibt es viele wichtige Systeme, die gar keine kinetische Energie, aber doch eine Temperatur besitzen, wie zum Beispiel die Hohlraumstrahlung oder die kosmische Hintergrundstrahlung oder ein Spinsystem. Würde man die Temperatur "als Maß für die mittlere kinetische Energie eines Teilchens" definieren, wäre unverständlich, dass Strahlung eine Temperatur haben kann. So wird üblicherweise das Stefan-Boltzmann-Gesetz aus der Inneren Energie eines Photonengases und seiner Temperatur hergeleitet. Früher, bevor man erkannte, dass Strahlung ein eigenes thermodynamisches System mit einer eigenen Temperatur sein kann, behalf man sich mit der Hilfsvorstellung, dass die im Strahlungsgesetz vorkommende Temperatur die Temperatur der Hohlraumwände sei, die ja im Idealfall wirklich mit der Strahlung im thermischen Gleichgewicht stehen und also die gleiche Temperatur wie diese haben.

7. Zur Frage, welche Temperatur ein Vakuum hat, lautet die Standard-Antwort, dass es keine habe, da es keine Materie enthalte, die mit einer kinetischen Energie verbunden sei. Selbstverständlich ist, dass ein "System" vorhanden sein muss, dessen thermisches Verhalten man durch eine Temperatur beschreiben könnte. Gäbe es ein absolutes Vakuum, so würde dieses System fehlen. Gäbe es aber einen absolut materiefreien Raum, so enthielte dieser durchaus noch Strahlung. Wenn diese im thermischen Gleichgewicht ist, besitzt sie eine Temperatur. So ist der intergalaktische Raum - das beste existierende "Vakuum" - weder ganz materiefrei (typisch 1 Atom pro cm³) noch frei von der kosmischen Hintergrundstrahlung, die sehr wohl eine Temperatur hat.

Mit dem Programm ENTROPIE wird stattdessen die übliche korrektere und allgemeinere Auffassung von T veranschaulicht.

Die Lehrplanformulierung "absolute Temperatur als Maß für die mittlere kinetische Energie eines Teilchens" ist korrekt zu lesen als: "Die mittlere kinetische Energie eines Teilchens ist proportional zur absoluten Temperatur". Sie macht eine Aussage über die mittlere kinetische Energie eines Teilchens. Sie wird falsch interpretiert, wenn sie als Definition oder Begriffserklärung der absoluten Temperatur aufgefasst wird.

**) Korrekt müsste der Satz umgekehrt werden: "Die mittlere (kinetische) Energie eines Teilchens (wie auch die innere Energie U des Gases) im thermischen Gleichgewicht ist proportional zu T. Je höher die Temperatur, desto höher ist die mittlere (kinetische)  Energie". Der Satz macht eine Aussage über die mittlere (kinetische) Energie und nicht über die Temperatur. Wenn es nur ideale Gase gäbe, könnte man darauf eine Temperaturdefinition aufbauen bzw. ihn, wie oben zitiert, als Aussage über die Temperatur lesen. Aber auch an der Schule spielen andere Systeme (reale Gase, Strahlung) eine wichtige Rolle. In jedem Fall aber erlaubt der zugrunde liegende Sachverhalt die Definition einer Temperatur-Skala, die in weiten Grenzen praktisch durchführbar ist, weil es Gase gibt, die sich weitgehend wie ein ideales Gas verhalten.

Definitionen nach der Theorie der Wärme:

(D1a): Nach der thermodynamischen Temperatur-Definition ist Temperatur T derjenige Parameter, der die Aufnahme und Abgabe von Wärme bei einer reversibel und periodisch arbeitenden Maschine mit dem höchstmöglichen Wirkungsgrad (also einer Carnot-Maschine) regelt. Reversibel heißt dabei: Die Aufnahme und Abgabe von Wärme erfolgt jeweils im thermischen Gleichgewicht.

(D1b) Die Temperatur T eines Systems ist ein Parameter, der im thermischen Gleichgewicht bestimmt, wie die Energie über die Energieniveaus der Mikrozustände (E₁, E₂, E₃, ... ) verteilt ist.

Download von 2 Simulationsprogrammen, z.B. ENTROPIE

(einige Formulierungen verschärft: Juni 2018)