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© Horst Hübel Würzburg 2005 - 2015

Stichwort

Das Märchen von Mangel und Überschuss an den Polen einer Batterie

oder

Spielen im geschlossenen Stromkreis Überschuss bzw. Mangel an positiven bzw. negativen Ladungen eine Rolle?

Zur aktuellen Diskussion über Oberflächenladungen bei stromdurchflossenen Leitern

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1. Unbestritten ist, dass ein solcher Ladungsüberschuss bzw. Ladungsmangel an den Polklemmen einer unverbundenen Gleichspannungsquelle (Batterie) herrscht. Seine Größe ist bestimmt durch die Spannung der Batterie und die Kapazität zwischen den Polklemmen. Ebenfalls unbestritten ist, dass sich durch zusätzliche metallische Anschlüsse die Kapazität ändert, so dass der Ladungsüberschuss bzw. Mangel verstärkt wird. Hat diese Kapazität irgendeinen Einfluss auf den Stromfluss im geschlossenen Stromkreis, einen Einfluss, der rechtfertigen könnte, ihn im Schulunterricht zu thematisieren?


Das Kondensator-Modell: Im geschlossenen Stromkreis liegt nämlich eine völlig andere Situation vor. Der Kondensator zwischen den Polklemmen (Kapazität C) und die Leitungskapazitäten C' spielen keine Rolle mehr. Denn, wenn der stationäre Zustand erreicht ist, fließen auf die gedachten Kondensatoren gleich viele Ladungen zu wie ab. Positive und negative Ladungen auf entgegengesetzten Kondensatorplatten "halten sich gegenseitig fest auf ihren Positionen". Von da ab haben sie keine Funktion mehr; sie nehmen insbesondere nicht am Stromfluss teil. Der Strom fließt jetzt "direkt" aus der Stromquelle durch die Polklemmen in den Stromkreis.

Aufgabe der Stromquelle ist es jetzt nur noch, im Stromkreis vorhandene Ladungen in Bewegung zu setzen und in Bewegung zu halten. Auch durch die Batterie fließt ein Strom gleicher Größe wie durch den Rest des Stromkreises. Beim stationären Strom müssen in jedes beliebige Volumenelement des Stromkreises gleich viele Ladungen zu- wie abfließen. Das Gleichgewicht zwischen zufließenden und abfließenden Ladungen wird an jeder Stelle des Stromkreises durch die Kontinuitätsgleichung geregelt. In einem zweiten Teil geht es also um Folgerungen der Kontinuitätsgleichung für die Entstehung von Bereichen mit Ladungsüberschuss und -Mangel (Raumladungen) längs des Stromkreises durch einen Strom.

Soviel zu der manchmal zu hörenden Ansicht, ein Strom sei der Versuch, Ladungsüberschuss an einem Pol und Ladungsmangel am anderen auszugleichen. Auch zu der Ansicht, ein Strom sei ein Transport von gegenüber dem neutralen Leiter zusätzlichen Ladungen, eben Überschussladungen. Abb. 1 sagt uns, dass die mit den gedachten Kondensatoren zusammenhängenden Überschussladungen nicht am stationären Stromtransport teilnehmen, weil sie durch gleichviele entgegengesetzte auf der zweiten Kondensatorplatte "festgehalten" werden.

Abb. 1: Ersatzschaltbild für Batterie mit dem gedachten Polklemmen-Kondensator, weiteren Leitungskapazitäten und einem Widerstand. Wäre der Strom anders, wenn diese Kapazitäten nicht vorhanden wären? Sobald der stationäre Zustand erreicht ist, kann man sich die geladenen Kondensatoren wegdenken.

Es gibt ein Beispiel mit offensichtlich anderen Verhältnissen: Bei einer geschlossenen Induktionsschleife, die von einem sich ändernden Magnetfeld durchsetzt wird, gibt es Pole (und vermeintlich den Strom bewirkenden Überschussladungen) gar nicht. Dennoch fließt ein Strom und gibt es eine Spannung, weil die im Stromkreis vorhandenen und den Strom transportierenden Ladungen durch ein elektrisches Wirbelfeld angetrieben werden. Allgemein sollte es als Aufgabe einer Stromquelle gesehen werden, im Stromkreis bereits vorhandene Ladungsträger in Bewegung zu setzen, "anzutreiben" (evtl. gegen dissipative Kräfte). Der Versuch, einen Stromfluss durch gegenseitige Abstoßung von Ladungsanhäufungen und Anziehung von anderen zu erklären, kann höchstens in Spezialfällen gelingen.

Die Vorstellung von einem Ladungsüberschuss bzw. -mangel könnte für Schüler den Vorteil haben, dass sie die Bewegungsrichtung der jeweiligen Ladungsträger erkennen. (Die Stromrichtung selbst ist eine reine Definitionsfrage.). Die Vorstellung wird sicher falsch, wenn sich die Schüler dazudenken, dass sich die Ladungsträger von einem Bereich mit Ladungsüberschuss durch coulombartige Kräfte gegenseitig abstoßen ("Elektronendruck" oder "elektrischer Druck") und von einem Bereich mit Ladungsmangel durch ebensolche Kräfte - vielleicht sogar - zusätzlich (!) angesaugt werden. Vielmehr erfolgt der "Antrieb" in allen Fällen "von außen", also durch das sich ändernde magnetische Feld oder - im Fall der Batterie - durch chemische "Kräfte" in ihrem Inneren, die bei Stromfluss im Stromkreis vorhandene Ladungen in Bewegung setzen. Dieses Phänomen ist begleitet von geeigneten elektrischen Feldern längs des Stromkreises.

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2. Nun zur Untersuchung von "Ladungsanhäufungen" im Stromkreis:

Wir betrachten dünne Leiter, in deren Innerem das elektrische Feld stets parallel zur Leitermantelfläche orientiert und über einen Querschnitt hinweg von konstantem Betrag ist. Das elektrische Feld folgt also der Leitergeometrie. Ein Leiter bestehe aus zwei Zonen mit den unterschiedlichen Leitfähigkeiten σ1 und σ2, aber gleicher Querschnittsfläche A, die an ihren Stirnseiten (Querschnitt) zusammenstoßen. In jedem der beiden Abschnitte für sich ist wegen rot E = 0 die Feldstärke E überall gleich, unabhängig von den Leitfähigkeiten. Die Feldstärke in den beiden Abschnitten seien E1 und E2. Weil die Stromstärke I in beiden Abschnitten die gleiche ist, gilt mit dem Betrag der Stromdichte j wegen I = j·A = σ·E·A:

σ1·E1·A = σ2·E2·A  

σ1· E1 = σ2· E2 

Wenn sich die Leitfähigkeit in einem Leiter überall gleicher Querschnittsfläche A ändert, ändert sich die elektrische Feldstärke und es gilt

     E1/E2 = σ21   ,

d.h. die Feldstärken verhalten sich umgekehrt wie die Leitfähigkeiten.

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3. Die Anpassung des Betrags der Feldstärken erfolgt durch Raumladungen in den Übergangszonen.

Dabei ist es klar, dass diese Raumladungen nicht Ursache für die jeweiligen elektrischen Felder und schon gar nicht Ursache des Stroms sind. Man sieht das daran, dass die Richtung des elektrischen Feldes mit der Stromrichtung immer übereinstimmt, die also im Falle einer Batterie außerhalb von ihr tendenziell vom Pluspol zum Minuspol zeigt (in ihrem Inneren also tendenziell von Minus nach Plus. Verfolgt man die Stromrichtung, stößt man in manchen Fällen erst auf eine positive und dann auf eine negative Raumladung. Das ist dann der Fall, wenn zwischen beiden Stellen die elektrische Feldstärke erhöht werden soll, z.B. wegen erniedrigter Leitfähigkeit zwischen beiden Stellen. Man könnte jedoch auch erst auf eine negative und dann auf eine positive Raumladung stoßen, wenn zwischen beiden Stellen die Feldstärke erniedrigt werden soll, z.B. wegen erhöhter Leitfähigkeit zwischen beiden Stellen. In letzterem Fall wird die Feldrichtung nicht etwa umgekehrt, sondern ebenfalls an die durch Spannung, Widerstand und Stromdichte festgelegte Größe angepasst. Man könnte allenfalls sagen, dass durch die Raumladungen Zusatzfelder "erzeugt" werden, die die von der Spannungsquelle ausgehenden Felder überlagern und größenmäßig anpassen, also erhöhen oder erniedrigen.

                     Raumladungen im Stromkreis sind nicht die Ursache für die elektrischen Felder, die den Strom begleiten, sondern passen nur ihre Größe an.             

Im Folgenden soll ein Fall studiert werden, wo auch in einem geschlossenen Stromkreis Stellen mit Ladungsüberschuss und -mangel entstehen, nämlich dort, wo sich die Leitfähigkeit σ des Leitermaterials ändert. In zwei Modellrechnungen soll die Auswirkung auf die Ladungdichte untersucht werden, wenn in einem bestimmten Leiterabschnitt der Länge 2·a die Leitfähigkeit allmählich auf 0 herunter gedreht wird. Der Querschnitt des Leiters A soll überall konstant sein. Die Leitfähigkeit σ ist der Kehrwert des spezifischen Widerstands ρ. Es gilt also σ = 1/ρ . Der spezifische Widerstand wird in diesem Text nicht verwendet. Dagegen ist hier von der Ladungsdichte ρ die Rede mit der Einheit A·s/m3 .

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4. Ausgangspunkt der Überlegungen ist die Kontinuitätsgleichung für einen Strom.

Sie regelt das Gleichgewicht zwischen zu- und abfließenden Ladungen über die Stromdichte j. Mit der Stromdichte j = σ·E folgt, da diese im unverzweigten Stromkreis unveränderlich ist:

div j = div (σ·E) = E·grad σ + σ · div E = 0

Wir erhalten also div E = - grad σ /σ · E. Das ist aber bis auf den Faktor 1/ε0 (mit der elektrischen Feldkonstanten ε0) gerade die gesuchte Ladungsdichte:

        ρ = - grad σ /σ · E · ε0        .

Im homogenen Feld in x-Richtung (bei entsprechender Leitergeometrie) mit E = Ex ex gilt dann

ρ = - dσ/dx /σ · Ex · ε0.

Eine von 0 verschiedene Ladungsdichte gibt es also nur an solchen Stellen, wo sich die Leitfähigkeit in x-Richtung ändert, falls  Ex =/= 0. Den Faktor s = - dσ/dx /σ nenne ich zum Gebrauch in diesem Text "Leitfähigkeitsprofil".

Im stromdurchflossenen Stromkreis gibt es nirgends "gestaute" Ladungen oder Ladungsanhäufungen außer an den Stellen, an denen sich die Leitfähigkeit ändert oder - wie wir später sehen werden - die Querschnittsfläche.

Ein geschlossener Stromkreis bestehe aus einer Batterie und einem Lämpchen. Die Verbindungsleitung von Lämpchen und Pluspol weist zwar einen Überschuss an positiven Ladungen auf (auf den gedachten Kondensatoren) und die Verbindungsleitung von Lämpchen und Minuspol einen Mangel an positiven Ladungen - Entsprechendes gilt für negative Ladungen -, aber diese Ladungen nehmen nicht am Stromfluss teil und haben für ihn keine Funktion.

Beim Übergang zwischen Zonen unterschiedlicher Leitfähigkeit ändert sich bei unveränderter Stromdichte j = σ · E die elektrische Feldstärke E im Inneren des Leiters (nur im Gleichgewichtszustand der Elektrostatik ist das Innere von Leitern feldfrei!). Beim Übergang von hoher zu niedriger Leitfähigkeit muss die Feldstärke wachsen. Die Anpassung der Feldstärken geschieht durch Raumladungen. Man erwartet, dass bei großem Unterschied der Feldstärken auch eine dem Betrag nach große Ladungsmenge erzeugt werden muss. Das Vorzeichen von dσ/dx entscheidet über das Vorzeichen der Raumladung.

Details der Ladungsdichte-Verteilung hängen stark von der Art des Übergangs zwischen Bereichen unterschiedlicher Leitfähigkeit ab. In der Regel kann man von einer Übergangszone von wenigen Atomlagen ausgehen. In vergleichbarer Breite in x-Richtung entsteht dort eine Ladungsdichte-Zone mit positiven oder negativen Raumladungen. Lässt man die Breite der Übergangszone gegen 0 gehen, entsteht eine Flächenladungsdichte in einer Ebene senkrecht zum Leiterquerschnitt ("Stirnladung"). Wegen der Division durch σ, was auf der einen Flanke von ρ klein, aber der anderen groß ist, kann man keine symmetrische Form der Ladungsdichteverteilug ρ bzgl. der Mitte der Leitfähigkeitsflanke (in der Zeichnung bei +/-4 willkürlichen Einheiten) erwarten.

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5. Es sind zwei Fragestellungen denkbar:

1. Bei einer bestimmten Stromdichte mit dem Betrag  j = I/A = σ·Ex wird die Ortsabhängigkeit der elektrischen Feldstärke in Rechnung gesetzt. Da j überall konstant, folgt Ex = j/σ = I/(A·σ). Die Ladungsdichte ρ wird dann

ρ = - dσ/dx /σ · Ex = - dσ /dx /σ ·I/(A·σ) = - dσ /dx /σ2·I/A

In der Regel passt die Spannung der Batterie nicht zu diesem Strom I beim jeweiligen Gesamtwiderstand. Diese Fragestellung hat nur einen Sinn, wenn die Spannung der Batterie jeweils passend zur Stromstärke angepasst wird.

2. Bei fester Batteriespannung U soll der Widerstand vergrößert werden. Nur für die Stromberechnung bei der gegebenen Spannung U soll der Widerstand im Stromkreis allein durch σ0 im Inneren des schlechten Leiters bestimmt sein, d.h. die Leitfähigkeitsänderungen in den Übergangszonen sollen vernachlässigt werden, was angesichts der Schmalheit dieser Zonen als eine gerechtfertigte Näherung  für I erscheint. Der Widerstand der Stromzuführungen soll vernachlässbar sein. Auch ein Spannungsabfall in den Stromzuführungen wird vernachlässigt, was eine umso bessere Näherung ist, je geringer die Leitfähigkeit σ0 im Inneren des schlechten Leiters.

Es gilt dann I = U/R = U·A·σ0 /l mit den Widerstandsdimensionen A und l, also R = 1/σ0·l/A. Die Stromstärke ist überall im unverzweigten Stromkreis konstant; entsprechend auch der Betrag der Stromdichte j = I/A = U·σ0 /l . Unter diesen Voraussetzungen gilt nur für den Bereich des Widerstands E = U/l und j = σ0·E. Tatsächlich ist

Ex = I/(A·σ) = σ0 /σ·U/l.

Den Faktor f = σ0 /σ nenne ich für diesen Text "Feldfaktor". Der Feldfaktor gibt an, wie sich das elektrische Feld innerhalb des Widerstand verändert. In Bereichen, in denen er 1 ist, ist die Anpassung der elektrischen Feldstärke an den globalen Wert im Widerstand vollzogen. Dann ist die Feldstärke näherungsweise gleich der Feldstärke U/l (bei einer Länge l des Widerstands und der Spannung U am Widerstand). In Bereichen mit kleinerem Feldfaktor ist auch die elektrische Feldstärke kleiner als U/l, wie etwa in den Stromzuführungen und in den Übergangszonen. Wird bei einer festen Batteriespannung U die Leitfähigkeit des Widerstands reduziert, entstehen in der Nähe der Übergangsstellen  Zonen verminderter Feldstärke. An ihrem Rand entstehen Raumladungen, die die elektrische Feldstärke auf die im Widerstand herrschende anpassen. Der Feldfaktor nähert sich jenseits der Stelle, wo σ0 /σ = 1/2 ist, seinem Maximalwert 1. Je kleiner bei einem kontinuierlichen Leitfähigkeitsübergang σ0 , desto tiefer liegt diese Stelle im Bereich geringer Leitfähigkeit. Wenn der Feldfaktor 1 geworden ist, ist die Anpassung der Feldstärken innerhalb und außerhalb des Widerstands vollzogen. Wegen der indirekten Proportionalität zu σ verläuft Ex grundsätzlich anders als σ. Dementsprechend liegt der Ladungsschwerpunkt der Raumladung etwas (in der Regel um Bruchteile von wenigen Atomlagen) in den Bereich geringer Leitfähigkeit verschoben, umso weiter, je kleiner σ werden kann. Für die Ladungsdichte ρ erhalten wir dann:

ρ = = - dσ /dx /σ2·I/A · ε0 = - dσ /dx /σ2·U·σ0 /l  · ε0 , also

      ρ = - dσ /dx /σ2·σ0 ·U/l· ε0     

und damit:

      ρ = s·f·U/l·ε0    

mit dem Leitfähigkeitsprofil s und dem Feldfaktor f.

Der Verlauf der Ladungsdichte ρ ist durch das Produkt von Leitfähigkeitsprofil s = dσ/dx /σ und Feldfaktor f = σ0 bestimmt. Durch das quadratische Auftreten der Leitfähigkeit im Nenner werden Zonen mit kleinem σ bevorzugt.

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6. Es werden zwei verschiedene Leitfähigkeitsmodelle untersucht. Die Rechnungen wurden in weiten Teilen analytisch durchgeführt und durch numerische Rechnung mit einer Tabellenkalkulation überprüft.

In den Zeichnungen wurden meistens willkürliche Einheiten verwendet. Während die Übergangszone eine Breite von wenigen Atomlagen hat, ist der Abstand der zwei Übergangszonen sehr viel breiter als in der Zeichnung. Da es nur auf die Verhältnisse der Ladungsdichten ankommt, soll σ∞  in allen Fällen 1 sein.

Abb. 2:

Ergebnis der Rechnungen für Leitfähigkeitsmodell (2) mit kontinuierlicher Änderung der Leitfähigkeit). Der schlechte Leiter (Widerstand) beginnt bei x = -4 und endet bei x = 4.

Gezeichnet ist die 5-fache Leitfähigkeit σ (rot) und die Ladungsdichte ρ (blau).

σ0= 0,9: σ verändert sich bei +/- 4 von σ= 1 auf σ0= 0,9 und umgekehrt. Der geringen Leitfähigkeitsänderung entspricht eine geringe Raumladung.

Man könnte sagen, dass hier die Raumladungen ein Zusatzfeld "erzeugen" , das das vorhandene Feld zwischen ihnen verstärkt.

Außerhalb des Bereichs, in dem sich die Leitfähigkeit (bei unveränderter Querschnittsfläche) ändert, gibt es keine Raumladungen.

Abb. 3: Leitfähigkeitsmodell (2); σ0 = 0,5

Abb. 4: Leitfähigkeitsmodell (2); σ0 = 0,1.

Mit abnehmender Leitfähigkeit σ0 wächst der Betrag der Raumladungen. Beide Raumladungen haben gleichen Betrag, aber unterschiedliches Vorzeichen.

Das dazwischenliegende elektrische Feld muss noch mehr verstärkt werden.

Abb. 5: Leitfähigkeitsmodell (2); σ0 = 0,01.

Die Raumladungen verändern sich jetzt nur noch wenig. Sie wandern aber in das Innere des Widerstands hinein (wenn auch nur um Bruchteile von wenigen Atomlagen).

Abb. 6: Leitfähigkeitsmodell (2); σ0 = 0,0001

Abb. 7: Noch einmal Leitfähigkeitsmodell (2); σ0 = 0,00000001

Die purpurfarbene Kurve stellt das 5-fache Leitfähigkeitsprofil s = dσ/dx / σ dar. Durch σ im Nenner werden Anteile für sehr kleines σ stark betont. Die grüne Kurve ist das 5-fache des Feldfaktors f = σ0/σ . Fern von den Übergangszonen ist er 1, nahe der Übergangszonen dagegen verändert er sich von σ0 allmählich auf 1, indem σ auf σ0 abfällt. Der Feldfaktor f bewirkt eine weitere Betonung der Bereiche sehr kleinen σ's. dσ/dx (türkis) hat in der Flankenmitte (also hier bei +/- 4) sein Extremum.

Das Leitfähigkeitsprofil (5-facher Wert: purpur) hat breite Extrema mit den Werten von ca. +/- 2.

Die Verschiebung der Raumladungen zu Bereichen kleiner Leitfähigkeit σ hin erfolgt in einem Bereich von wenigen Atomlagen.

Abb. 4a:  σ0 = 0,1.

Leitfähigkeitsmodell (1): Hier erfolgt ein linearer Übergang zwischen den Leitfähigkeiten σ0 und σ .

Das Leitfähigkeitsprofil (magenta) - dσ /dx /σ strebt bei einer Breite b (hier 0,8) gegen (σ - σ0)/(b·σ0) am Rand kleiner Leitfähigkeit. Für σ0 => 0 divergiert dieser Faktor. (b = 0,8 gewählt)

Dagegen strebt für σ0 => 0 das Integral gegen einen endlichen Wert (rötlich oder bläulich).

Feldfaktor (grün, 5-facher Wert): Die Feldanpassung erfolgt vollständig in der Übergangszone, in der sich σ verändert. Zwischen beiden Zonen gilt mit der verwendeten Näherung E = U/l.

Zwar divergiert die Ladungsdichte für jeweils einen Rand der Übergangszone, nicht aber die jeweilige Gesamtladung, wie sich analytisch nachrechnen lässt.

Leitfähigkeitsmodell 1:

Die Leitfähigkeit σ verändert sich in den Übergangszonen linear von σ auf σ0  bzw. umgekehrt. Die Ableitung von σ und damit das Leitfähigkeitsprofil sind nur innerhalb der Übergangszone von 0 verschieden und dort konstant. Innerhalb dieses Bereichs muss die entstehende Ladungsdichte liegen. Die relativ hohe elektrische Feldstärke zwischen beiden Übergangszonen muss durch die Größe der Ladungsdichte angepasst werden. Mit abnehmender Leitfähigkeit σ0 divergiert die Ladungsdichte an einem Rand der Übergangszone.

Es lässt sich aber durch analytische Rechnung zeigen: Das Integral über das Leitfähigkeitsprofil für einen Übergang ist ohne Berücksichtigung des Vorzeichens ln(σ0), und das Integral über die Ladungsdichte, also die Gesamtladung für einen Übergang ist bis auf die Faktoren U/l·ε0 gleich σ - σ0. Während für σ0 gegen 0 das erste Integral divergiert, strebt die Gesamtladung  gegen den endlichen Wert σ U/l·ε0 , ein ganz vernünftiges Ergebnis (siehe Abb. 4a).

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Leitfähigkeitsmodell 2:

Die Übergänge der Leitfähigkeit sollen jetzt gleichmäßiger erfolgen. Dazu wird also angesetzt:

σ = σ0  + (σ- σ0)/2·{1 + tanh[-k(x+a)]} , wobei die Zentren der Übergangszone bei -a bzw. +a liegen sollen. k soll ein Maß für die Breite der Übergangszone sein. Für x => -∞ strebt σ gegen σ, für x => ∞ gegen σ0

Für die Ableitung erhalten wir dann:

dσ /dx = -(σ- σ0)/2·{1 - tanh2[-k(x+a)]}·k

dσ /dx = (σ- σ0)/2·{1 - tanh2[-k(-x+a)]}·k

Für x => -/+∞ strebt dσ /dx gegen 0.

Die Rechnung zeigt:

Je stärker die Leitfähigkeit reduziert wird, desto größer wird zunächst die Raumladung. So hat man das erwartet. Aber mit abnehmender Leitfähigkeit nähert sich die Ladungsmenge schließlich einem Sättigungswert. Die Ladungsverteilung ändert sich schließlich kaum mehr. Sie wandert von der Übergangszone weg in das Medium mit der geringeren Leitfähigkeit. Die elektrische Feldstärke steigt erst hier weiter an. Die Gesamtladung für eine Übergangszone strebt gegen einen endlichen Wert. Das Leitfähigkeitsprofil wird für σ gegen 0 immer breiter mit dem Integral - ln(σ0).

Beide Leitfähigkeitsmodelle zeigen ähnliche Eigenschaften (Auftreten von Raumladungen, Endlichkeit der jeweiligen Raumladung, Vorzeichen, Einfluss der Leitfähigkeitsunterschiede, Übergang zum Isolator). Im Detail unterscheiden sie sich. Ein realistischeres Modell wird möglicherweise zwischen den beiden untersuchten Modellen liegen. Spätestens, wenn σ0 = 0, also bei vollständiger Unterbrechung des Stromkreises, sollte wohl ein anderes Modell verwendet werden, nämlich, dass die Batterie Ladungen auf einen "Polklemmen-Kondensator" mit geänderter Kapazität pumpt.

Bei der Induktionsschleife ist das übrigens die Situation, in der aus der Ringspannung durch die "Ladungsanhäufungen" eine gewöhnliche Spannung gleicher Größe "zwischen den Enden der Schleife bzw. der Spule" entstanden ist. Nur über diese Situation macht die Schulphysik in der Regel Aussagen.

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7. Zur Fragestellung:

Verringert man bei fester Batteriespannung U die Leitfähigkeit im Widerstand, entstehen Raumladungen nahe der Übergangszonen der Leitfähigkeit. Unabhängig von ihrem Vorzeichen bleibt auch innerhalb des Widerstands wie im ganzen Stromkreis außerhalb der Stromquelle die Tendenz "E-Feld von + nach - gerichtet" beibehalten. Ist die Leitfähigkeit des Widerstands quasi 0, sind die Raumladungen von einem elektrischen Feld U/l in der "Lücke" der Breite l (Widerstand) begleitet. In weiten Bereichen ist die Raumladung in einer Übergangszone um so größer, je geringer die Leitfähigkeit im Widerstand ist mit einem Sättigungswert für sehr kleine σ0.

Bei einheitlichem Material (einheitliche Leitfähigkeit) und einheitlichem Querschnitt gibt es im geschlossenen Stromkreis nirgends Raumladungen. Erst, wenn ein Widerstand in den Stromkreis geschaltet wird mit unterschiedlicher Leitfähigkeit entstehen an seinen Enden Ladungsüberschüsse gleichen Betrags, aber unterschiedlichen Vorzeichens. Durch sie wird der Betrag der elektrischen Feldstärke E im Zwischenbereich angepasst. Diese Raumladungen sind aber nicht Ursache für das elektrische Feld, das den Stromfluss gemäß j = σ·E  begleitet.

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8. Einfluss von Querschnittsänderungen

Es soll jetzt ein Leiter untersucht werden, der bis zu einer Übergangsstelle aus zwei parallel mit einander verbundenen Materialien mit den Leitfähigkeiten σ und σ0 bestehe. Hinter der Übergangsstelle bestehe er aus einheitlichem Material mit der Leitfähigkeit σ. Wir können das auffassen als eine Reihenschaltung von zwei Widerständen.

Abb. 8: Ein Leiter konstanter Querschnittsfläche A+A' soll aus einer Reihenschaltung von zwei Widerständen bestehen, wovon einer wiederum aus einer Parallelschaltung von zwei Widerständen mit unterschiedlichen Leitfähigkeiten σ und σ0 und den Querschnittsflächen A und A' besteht.

Diese Prozedur wurde gewählt, weil man so die Rolle von Querschnittsänderungen untersuchen kann, wenn man σ0 gegen 0 streben lässt.

Wegen der Wirbelfreiheit des elektrischen Felds herrscht in beiden Teilen des Abschnitts 1 die gleiche elektrische Feldstärke, innerhalb des Abschnitts 2 sowieso. Im Abschnitt 1 herrsche in beiden Leitfähigkeitsbereichen mit den Querschnittsflächen A und A' die Feldstärke E1, im Abschnitt 2 die Feldstärke E2. Wegen der Konstanz der Stromstärke gilt

σ · E1·A +  σ0· E1·A' = σ · E2· ( A1 + A' )

also

E1/E2 = σ · ( A + A' ) / ( σ · A +  σ0· A')

Wir wollen nun das Material mit σ0 zum Isolator machen. Wenn σ0 = 0 also

    E1/E2 = ( A + A' ) / A    

Die Feldstärken verhalten sich umgekehrt wie die jeweiligen Querschnittsflächen *). Diese Situation entspricht einer Querschnittsänderung von A auf A + A' bei konstanter Leitfähigkeit σ. Wieder wird die Feldstärkenänderung durch Raumladungen nahe der Trennfläche zwischen beiden Bereichen erzeugt.

                     Raumladungen im Leiter entstehen auch, wenn sich die Querschnittsfläche des Leiters ändert.                  

Im Extremfall, bei einer Unterbrechung des Leiters (σ0 = 0), entstehen tatsächlich Überschuss und Mangel von Ladungen an den Unterbrechungsstellen ("Polen"). Ein direkter Zusammenhang mit der Größe der Ladungen beim unverbundenen Polklemmen-Kondensator ist nicht erkennbar. Die Kapazität des Polklemmen-Kondensators wird verändert. Diese Ladungen passen die elektrischen Feldstärken an das von Spannung und Länge der der Unterbrechnungsstelle geforderte Maß an.

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9. Zusammenfassung:

  • Der Stromfluss ist nicht die Folge gegenseitiger Abstoßung von Ladungsanhäufungen, sondern die Bewegung von im Stromkreis vorhandener Ladungen durch "äußere Kräfte" (z.B. chemische "Kräfte" oder Induktion).
  • Ladungen nach dem Kondensator-Modell nehmen nicht am Stromfluss teil und haben keine Funktion für ihn.
  • Ein Stromfluss ist demzufolge nicht die Folge eines - wie auch immer definierten  - "Elektronendrucks" oder "elektrischen Drucks" als Folge gegenseitiger Abstoßung von Ladungen.
  • Ladungsanhäufungen im geschlossenen Stromkreis treten nur auf bei Änderungen der Leitfähigkeit oder des Leiterquerschnitts. Sie sind nicht die Ursache von elektrischen Feldern, mit denen Ladungsträger durch den Stromkreis bewegt werden. Sie passen vielmehr die elektrische Feldstärke an auf das Maß, das durch Spannung, Widerstand, Stromstärke etc. festgelegt ist. Sie sind nicht hinreichend zur Erklärung eines Spannungsabfalls am Widerstand.
  • Wenn beim Eintritt in einen Widerstand die Leitfähigkeit in gleicher Weise absinkt wie sie beim Austritt wieder ansteigt, unterscheiden sich die beiden Raumladungen allein durch das Vorzeichen.
  • Die vorstehenden Überlegungen machen keinen Gebrauch davon, ob die Ursache des Stroms lokalisierte chemische "Kräfte" in einer Batterie oder ausgedehnte sich ändernde magnetische Felder in einer Induktionsschleife sind.
  • Damit gibt es auch von dieser Seite her keinen Anlass, Spannung und Stromstärke in beiden Fällen unterschiedlich zu beschreiben und zu erklären, wie das schon bei den Spannungsbegriffen Potenzialdifferenz und Ringspannung war.

In diesem Licht sollten didaktische Versuche gesehen werden, Spannung, Strom und elektrische Felder im Stromkreis für Schüler plausibel zu machen. Ich bevorzuge die Argumentation eines für Schüler vorgesehenen Textes student-stromkreis.html

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Definitionsfrage: In der Physik kennt man nur eine Stromrichtung, die so genannte technische Stromrichtung. Alle einschlägigen physikalischen Gesetze sind auf sie bezogen. Dagegen gibt es auch noch Bewegungsrichtungen der Ladungsträger, die je nach Ladungsvorzeichen mit der Stromrichtung übereinstimmen oder entgegengesetzt sein können. Da selbst in einem bestimmten Stromkreis unterschiedliche Bewegungsrichtungen von positiven und negativen Ladungsträgern eine Rolle spielen können, ist es nicht möglich und sinnvoll, eine Stromrichtung durch die Bewegungsrichtung zu definieren.

Die Elektrodynamik ist bekanntlich keine kausale, sondern eine konsistente Theorie. Sie beschreibt nicht Ursache und Wirkung, sondern gleichzeitig vorliegende "Begleitumstände".

Unterschiedliche Feldstärken in verschiedenen Raumbereichen deuten noch nicht auf Raumladungen hin wie das Beispiel des inhomogenen Coulombfelds zeigt.

Dünne Leiter:  Dass hier das elektrische Feld der Leitergeometrie folgt, wird mit Oberflächenladungen (Mantelladungen) erklärt. Wie die hier diskutierten Raumladungen sind diese nicht Ursache des elektrischen Stromes, sondern passen das von der Batterie oder dem sich ändernden Magnetfeld erzeugte elektrische Feld lediglich an die jeweilige Leitergeometrie an. Statische Oberflächenladungen sind, wenn man der Literatur glauben darf, sehr klein. Sie können auch nicht die Energie für einen stationären Strom durch einen Widerstand herbeischaffen.

*) Das würde auch aus der Konstanz der Stromstärke folgen: Es gilt

σ· E1· A = σ· E2· (A+A'), also E1/E2 = (A+A')/A

Bei einer Polklemmen-Kapazität in der Größenordnung von pF und Leitungskapazitäten von gleicher Größenordnung und einer Spannung von 6 V werden ca. 10·10-12 As gespeichert. Bei einer Stromstärke von 0,1 A würde diese Ladungsmenge in ca. 10-10 s abfließen. Die gespeicherte Ladung ist offenbar so winzig, dass ihr Einfluss vernachlässigbar ist.

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( November 2015 )