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© Horst Hübel Würzburg 2005 - 2015

Stichwort

Oberflächenladungen auf Leitern bei stationären Strömen - ein didaktisches Nebenthema

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Im geschlossenen Stromkreis bei einem stationären Strom erfolgt die Bewegung von Ladungen gegen dissipative Kräfte unter der Wirkung eines elektrischen Feldes. Z.B. im Fall einer Induktionsschleife ist das ein Wirbelfeld ohne Quellen und Senken, im Fall eines Gleichstromkreises mit einer Batterie wird dies außerhalb der Stromquelle in der Regel als ein Feld angesehen, dessen Quellen und Senken die Pole der Batterie darstellen.(*)

Stromdichte j und elektrische Feldstärke E sind beim stationären Strom durch Metalle nach dem Ohm'schen Gesetz j = σ·E miteinander verknüpft, also gleichgerichtet proportional. σ ist dabei die Leitfähigkeit. Ein Problem, das in der Didaktik seit einigen Jahren diskutiert wird, ist, dass bei (normalen dünnen) Leitern j und E immer (außerhalb der Stromquelle) dem Verlauf der Leiter folgen, selbst bei Verformung der Leiter. Andererseits erscheint es unverständlich, dass Ladungen auf den Polklemmen der Batterie ein Feld solcher Eigenschaften erzeugen sollen. Die Idee ist, dass dieses elektrische Feld den Strom "antreibe".

In der didaktischen Literatur glaubt man eine Lösung gefunden zu haben: Beim Einschaltvorgang bilden sich danach zusätzliche (nicht durch Atomrümpfe neutralisierte) Oberflächenladungen auf der Oberfläche der Leiter, die für ein homogenes elektrisches Feld im Inneren des (geraden) Leiter sorgen. Dieses elektrische Feld kann Anteile des Feldes von den Ladungen der Polklemmen und das der Oberflächenladungen enthalten. Deren Anteil ist wesentlich für Richtung und Verlauf des sich einstellenden Felds. Er ist aber nicht die Ursache für den Stromfluss. Manche Autoren behaupten aber genau das und versuchen, einen Zusammenhang zwischen den Oberflächenladungen und einer Spannung an dem Leiter zu erklären. (Vgl. auch ein Experiment dazu)

Ich habe nicht untersucht, wie weit die Herleitungen des Zusammenhangs zwischen Oberflächenladungen und elektrischer Feldstärke in der Literatur korrekt sind. Es gibt auch Autoren, die das bezweifeln. Es ist aber plausibel, dass solche Ladungen den Verlauf der elektrischen Feldstärke an die Leitergeometrie anpassen können. Die Stromdichte ist dann bestimmt durch das Gesamtfeld E, das durch die Stromquelle und evtl. Oberflächenladungen bestimmt ist.

In (älteren) Standardwerken der Elektrodynamik (z.B. Becker-Sauter) ist das Problem folgendermaßen gelöst, vermutlich schon seit ca. 100 Jahren:

Weil beim Stromfluss unterwegs keine Ladung erzeugt oder vernichtet werden, reduziert sich die Kontinuitätsgleichung auf div(j) = div(σE) = 0.
(1) Für eine Grenzfläche zweier verschiedener Leiter  folgt daraus für die Normalkomponenten En : σ1·En1 = σ2·En2 ; die Normalkomponenten von σ·E sind an der Grenzfläche stetig. Ist die Grenzfläche eine Querschnittsfläche (Stirnfläche), die zwei Metalle mit unterschiedlicher Leitfähigkeit trennt, muss die elektrische Feldstärke einen Sprung machen: Folge von "Stirnladungen". Grenzt ein Leiter längs seiner Mantelfläche an Vakuum (oder einen anderen Nichtleiter) mit σ2 = 0, folgt deshalb En1 = 0: Wie auch immer der Leiter verläuft, an seiner Oberfläche im Inneren muss das elektrische Feld E parallel zur Leiteroberfläche sein. Andernfalls würde eine Normalkomponente zu Ladungsverschiebungen führen, bis die Normalkomponente verschwunden ist.
(2) rot E = 0 führt an der Grenzfläche dazu, dass die Parallelkomponente von E an der Grenzfläche stetig ist. (Wegen (1) gibt es an der Grenzfläche im Inneren nur eine Parallelkomponente.) Wenn E im Inneren aus Symmetriegründen in einem Querschnitt überall gleich gerichtet ist (wie bei einem dünnen zylindrischen Leiter, einem Draht), muss wegen rot E = 0 auch im Inneren E gleichen Betrag haben, d.h. bei einem dünnen Leiter ist E über die ganze Querschnittsfläche konstant und gleichgerichtet.
(3) Mit der Kontinuitätsgleichung (1) kann man von Querschnitt zu Querschnitt schließen: E ist in einem geraden Leiter überall gleich, also homogen. Statt mit rot E könnte man auch mit dem Energieerhaltungssatz für eine geschlossene infinitesimale Kurve argumentieren.

Nach wie vor aber geht m.E. die "Aktion" beim Stromfluss nicht von E in den Leitern, sondern eindeutig von der Stromquelle aus - sei sie nun lokalisiert, wie bei der Batterie, oder verteilt, wie bei der Induktionsschleife. Backhaus formuliert das sinngemäß so: Wären diese statischen Oberflächenladungen Ursache des Stroms - wie behauptet wird -, müssten sie die Energie liefern können, die im Stromkreis umgesetzt wird. Das ist aber nicht möglich. Unterbricht man die Verbindung zur Stromquelle, verschwinden die Oberflächenladungen sofort. Mögliche Oberflächenladungen haben keinerlei Einfluss auf die Stromstärke, wie man bei Verformung der Leiterschleife erkennt. Bei dicken Leitern fehlt der Anlass für die Annahme solcher Oberflächenladungen.

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    Es ist also nicht sinnvoll, zu behaupten, dass Oberflächenladungen allein Ursache des Stroms seien. Sie spielen für seine Größe keinerlei Rolle.  

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Die Elektrodynamik lehrt hingegen mittels Kontinuitätsgleichung und Ohm'schem Gesetz 1) für den stationären Strom:

         ∫o j·ds /σ  =   ∫o (E + E(e) )·ds    =   ∫o E(e)·ds    

, da in einem Potenzialfeld das Umlaufsintegral ∫o E ds über einen geschlosssenen Weg verschwindet. E(e) simuliert sozusagen für die Elektrodynamik die chemischen oder sonstigen Kräfte in der Batterie. Daraus wird dann auch für die EMK (leider eine alte unglückliche Bezeichnung), wenn die Stromdichte weitgehend konstanten Betrag hat:

   ∫o E(e)·ds    = R · I

und man sieht, dass das Feld E, das im Außenraum als Potenzialfeld mit Quellen und Senken beschrieben wird, keinerlei Einfluss auf den Strom hat. Dagegen wird I ausschließlich bestimmt durch die EMK und den Widerstand R. ∫o E(e) ds   heißt auch Urspannung U0 oder Quellenspannung, die häufig gleich der Leerlaufspannung ist.  E(e) ist die "eingeprägte" elektrische Feldstärke. Sie ist auf das Innere der Batterie beschränkt. Bei der Induktion in einer geschlossenen Leiterschleife dagegen begleitet sie die geschlossene Leiterschleife.

In   ∫o j·ds /σ  =   ∫o (E + E(e) )·ds   lässt sich das Umlaufsintegral auf der rechten Seite zerlegen in einen inneren und einen äußeren Anteil, entsprechend der jeweiligen Integrationswege. Dann erhalten Sie:

  ∫o j·ds /σ  =   ∫ i (E + E(e) )·ds + ∫a (E + E(e) )·ds = ∫a E·ds

, wenn bei vernachlässigbarem Innenwiderstand sich die beiden Felder im Inneren aufheben und E(e) im Außenraum verschwindet, wie bei der Batterie.


( ∫ i...·ds und  ∫a ... ·ds sind Wegintegrale zwischen zwei Punkten im Innen- und im Außenraum der Batterie.)

In diesem Fall gilt also

∫o E(e)·ds  = R · I  = ∫a E·ds

Das heißt, für den Transport einer Ladung q längs einer geschlossenen Kurve im geschlossenen Stromkreis ist die von der Stromquelle bereitgestellte Energie q · ∫o E(e)·ds gleich der im Außenraum verrichteten Arbeit q · ∫a E·ds gegen die dissipativen Kräfte, eine sehr plausible Aussage. Das ist die Aussage des Energieerhaltungssatzes (bis auf den Faktor q):
Energieerhaltungssatz für den Stromkreis:     ∫o E(e)·ds  = ∫a E·ds     

Die rechte Seite ∫a E·ds führt zu Spannungsabfällen an einzelnen stromdurchflossenen Widerständen, wie auch zu einer der Kirchhoff'schen Maschenregeln, und das unabhängig davon, ob j und E der Leitergeometrie folgen oder nicht, wie bei "dicken" Leitern. Es ist aber die linke Seite ∫o E(e)·ds, die den Stromfluss, und zusammen mit dem Gesamtwiderstand R, die Größe von I begründet.

Das elektrische Feld E ist eher eine Folge von  E(e) (Bei der Induktion in einem geschlossenen Leiterkreis durch zeitliche Änderung des eingeschlossenen Magnetfelds ist E(e) in der Regel das einzige elektrische Feld.). E wird so erzeugt, dass es wie oben den Energieerhaltungsssatz erfüllt, wie auch immer der Außen-Stromkreis verändert wird. Kenntnisse über E können evtl. dazu führen, Spannungsabfälle an Widerständen im Kreis zu erklären. Das ist aber unabhängig davon, ob E in einem Widerstand konstant bzw. homogen ist, ob j und E der Leitergeometrie folgen oder nicht. Auch wenn das nicht der Fall ist, wie z.B. in einem "dicken" Leiter, liefert die Arbeit zum Verschieben einer Ladung von Anfang eines Widerstands bis zu dessen Ende die richtige Spannung. Einziger Vorteil einer Homogenisierung von E durch "Oberflächenladungen" wäre, dass man mit U = E·l (bei einer Leiterlänge l) den Spannungsabfall leichter berechnen könnte. Deswegen also der didaktische Aufwand mit "Oberflächenladungen"?

Kontinuitätsgleichung und Ohm'sches Gesetz 1) für den stationären Strom sagen auch: Bei zylindrischen Leiterstücken muss man zwischen Mantelladungen und Stirnladungen unterscheiden.

1. Mantelladungen spielen danach beim stationären Strom keinerlei Rolle für Stromstärke und Spannungsabfälle.

2. Leitfähigkeitsunterschiede zwischen Leiterstücken können an deren Stirnseiten für positive und negative Ladungsanhäufungen (Raumladungen) sorgen, die zusätzliche elektrische Felder im Widerstand erzeugen. Man könnte sie als Grund für unterschiedliche Spannungsabfälle an den Leiterstücken sehen. Aber auch sie werden durch das Ohm'sche Gesetz pauschal erfasst.

3. Bei Änderungen des Leiterquerschnitts bei konstanter Leitfähigkeit bilden sich ebenfalls Stirnladungen.

         So ist die Entstehung von Oberflächenladung aus meiner Sicht ein für die Schule belangloses Thema:           

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1. Das Thema wird in der Literatur häufig falsch diskutiert. Oberflächenladungen haben, selbst wo sie existieren, keine Auswirkung auf die Stromstärke. Oberflächenladungen sind nicht die Ursache für den Strom. Spannung braucht keine Oberflächenladungen.

2. Es leistet trotz anderslautender Behauptungen keinen erkennbaren Beitrag zum Verständnis der Spannungsdefinition. Nirgendwo in der mir zugänglichen Literatur konnte ich einen ernstzunehmenden mathematischen Zusammenhang zwischen Oberflächenladung und Spannung finden, zum "Verständnis" schon gar nicht. Bei dicken Leitern (z.B. im elektrolytischen Trog) folgt das elektrische Feld keineswegs einer "Oberfläche"; dennoch gibt es Spannungen. Wenn es einen Weg von den Oberflächenladungen zur Spannung geben sollte, wäre er für die Schule viel zu kompliziert.

3. Der Einschaltvorgang beim gewöhnlichen Stromkreis, durch den Oberflächenladungen entstehen können, ist rechnerisch und verständnismäßig in der Schule kaum zugänglich. Ein Verständnis des stationären Stroms ist weit wichtiger als Diskussionen um den Einschaltvorgang.

4. Notfalls genügt ein qualitatives Argument, um die Tatsache zu erklären, dass E bei dünnen Leitern dem Leiterverlauf folgt. Alles andere ist eher ein akademisches Thema.

Das eigentliche Problem für Schüler beim Spannungsbegriff ist:

1. Schüler (Sch) können häufig nicht differenzieren zwischen den zwei elektrischen Größen Strom und Spannung, auch, weil sie in der Umgangssprache sogar kombiniert werden ("Stromspannung"). Formal denkend halten die Sch U und I für zwei quasi "gleichartige" Größen im Zusammenhang mit dem Stromkreis (im Wesentlichen: andere Namen, "Buchstaben" und Benennungen; die unterschiedliche Bedeutung und Rolle innerhalb und außerhalb des Stromkreis wird kaum erkannt.) Sie werden ja häufig auch im gleichen Atemzug eingeführt und sind in der Regel sogar noch proportional zueinander. (Die Umgangssprache mit "wir berechnen die Volt", "wir messen die Ampere" erleichtert das auch nicht.)

2. Die Funktion der beiden Begriffe wird in der Regel nicht genügend geklärt. Ich habe dagegen gute Erfahrungen damit gemacht, in einer Einführung Spannung vorläufig als "Pumpenstärke" einer Stromquelle einzuführen (das hat etwas mit  E(e) zu tun), möglichst lange vor oder nach der Stromstärke. Die (vereinfachte) Unterteilung und Zuordnung in "Spannung ist die Eigenschaft einer Stromquelle" (ob nun Strom fließt oder nicht) und "Stromstärke ist Eigenschaft eines geschlossenen Stromkreises" (und ist bestimmt durch alle seine Bauteile wie Stromquelle und Widerstand) verfestigt dann schon im einführenden Unterricht des Stromkreises die unterschiedlichen Funktionen. Und man sollte den Strom als "das Fließen /die Bewegung von elektrischen Ladungen" einführen, nicht irreführend und sprachlich schon unmöglich als "bewegte Ladungen".

3. Spannung scheint als Ursache und Wirkung aufzutreten: "Spannung (einer Stromquelle:  E(e) ) macht Strom" - "Strom macht Spannung" (Spannungsabfall:  E ). In Wirklichkeit begleitet sie den Stromfluss. Die Elektrodynamik ist bekanntlich keine kausale Theorie, sondern eine konsistente. "Spannung einer Stromquelle" wäre genau genommen die Urspannung (Quellenspannung) bzw. Leerlaufspannung U0. Im Anfangsunterricht sollte sie als "Spannung" allgemein bezeichnet werden.

Wenn das verstanden ist, kann später die offizielle Definition über die Verschiebungsarbeit nach DIN 1324 (bzw. hier) nachgeschoben werden.


stationärer Strom

Ein Strom heißt stationär, wenn er nicht dadurch entsteht, dass unterwegs elektrische Ladungen erzeugt oder vernichtet werden. Ein konstanter Gleichstrom ist das Paradebeispiel für einen stationären Strom.

Dissipative Kräfte sind Kräfte, durch die Energie, z.B. elektrische Energie, in Wärme bzw. innere Energie umgewandelt wird. Im Leiter werden Ladungen durch das elektrische Feld beschleunigt. Durch Stöße mit Atomrümpfen z.B. verlieren sie diese Energie ganz oder teilweise ("Stromreibung"), wodurch sich der Leiter erhitzt. Ohne dissipative Kräfte, wie etwa in Supraleitern, ist ein dauernder "Antrieb" des Strom nicht nötig.

* Strenggenommen kann kein Potenzialfeld die Energie für einen stationären Strom herbeischaffen. Im Fall eines Gleichstromkreises mit einer Batterie ist dafür das formale Wirbelfeld E(e) zuständig, bei der Induktion das dabei entstehende elektrische Wirbelfeld.

Ein elektrisches Potenzialfeld ist (grob) ein von elektrischen Ladungen "erzeugtes" Feld. Die Arbeit zum Transport einer Ladung auf jedem beliebigen geschlossenen Weg verschwindet. Das ist nicht der Fall für ein elektrisches Wirbelfeld, wie es z.B. bei der Induktion entsteht. Es gibt auch Überlagerungen von Potenzial- und Wirbelfeld mit nicht verschwindendem Umlaufsintegral.

Urspannung/Quellenspannung (Leerlaufspannung): Wie wird sie gemessen? Bei Stromlosigkeit entsteht auf Ladungen in der Batterie Kräftegleichgewicht zwischen der Kraft durch die eingeprägte Feldstärke E(e) und der Kraft durch das Potenzialfeld E, das durch die Ladungsverschiebung zwischen den Polklemmen im Inneren der Batterie entsteht. Beide Felder sind jetzt im Inneren entgegengesetzt gleich und E kann wie jedes Potenzialfeld durch eine Potenzialdifferenz gemessen werden.

Als "dünn" soll hier ein zylindrischer Leiter (Draht) bezeichnet werden, dessen Durchmesser klein im Vergleich zur Länge ist, so dass die Feldlinien in seinem Inneren quasi parallel verlaufen. Aus der Wirbelfreiheit des Potenzialfelds E im Leiterinneren folgt dann, dass E über den ganzen Querschnitt konstant ist. Es gibt auch andere Leiter, z.B. ein elektrolytischer Trog oder ein angefeuchtetes Stück Papier (unter Idealbedingungen), bei denen nur in bestimmten Fällen E homogen ist. Für sie gelten die Überlegungen zu Oberflächenladungen sicher nicht.

EMK "Chemische "Kräfte" in der Batterie überschreiten den Rahmen der Elektrodynamik. Deshalb wird ihre Wirkung durch ein formales Feld E(e) simuliert, das durch die Urspannung (Quellenspannung) gemessen werden kann. Da E(e) auf das Batterie-Innere beschränkt ist, ist es ein Wirbelfeld mit nicht verschwindendem Umlaufsintegral und Rotation (rot E(e) =/= 0). E(e) kann aber auch das elektrische Feld (Wirbelfeld) sein, das bei der Induktion entsteht.

Das Ohm'sche Gesetz verwendet bereits, dass j und E parallel sind, wie auch immer E zustande kommt, unabhängig davon, ob E homogen oder nicht. Bei einem Gesamtfeld  E + E(e) gilt dann  j = σ ·(E + E(e) ) . Vgl. auch Drude-Modell.

Das Zeichen ∫o steht für ein Umlaufsintegral über eine geschlossene Kurve. Es steht im Zusammenhang mit der Verschiebungsarbeit einer Ladung auf der geschlossenen Kurve.

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( November 2015: Einfluss von Querschnittsänderungen korrigiert )