Haben Sie sich nicht auch schon gewundert, dass in manchen Schulbüchern Resonanzkurven beim elektromagnetischen Schwingkreis mit ganz unterschiedlichem Verlauf abgebildet sind, auch wenn es sich immer um einen Parallelresonanzkreis handelt?

Haben Sie sich nicht auch schon gefragt, warum Messungen der Induktivität L mit unterschiedlichen Methoden ganz unterschiedliche Ergebnisse liefern? Übliche Verfahren der L-Messung in der Schule sind

• a) Messung der Eigenfrequenz eines elm. Schwingkreises, der zu gedämpften Schwingungen angeregt wird (Thomson-Formel),
• b) Resonanzfrequenz eines Schwingkreises bei der Anregung zu erzwungenen Schwingungen (Thomson-Formel),
• c) aus der Steigung eines dI/dt - U_ind- Graphen: L = - U_ind/ dI/dt
• d) aus der Energieerhaltung bei der Umwandlung von magnetischer Energie einer stromdurchflossenen Spule in elektrische Kondensator-Energie: 1/2 L I² = 1/2 U² / C.

Wegen seiner Einfachheit wird in der Schule meistens das Verfahren b) angewandt. Wann ist das eine gute Wahl?

Bei mechanischen Schwingungen wurden ähnliche Fragen anderswo untersucht [ZIP-Datei mit Handbuch (und Programm)].

Im Folgenden soll ein elektromagnetischer Schwingkreis mit vernachlässigbarer (innerer) Dämpfung untersucht werden. Dabei wird der Schwingkreis durch Ankopplung an einen Funktionsgenerator zu erzwungenen Schwingungen angeregt. Dabei ist klar, dass wegen der quadratischen Beziehung L·C = 1/ω₀² ein Fehler in der Resonanzfrequenz einen doppelt so großen Fehler in der L-Messung zur Folge hat.

Es sollen verschiedene Kopplungsarten durchgespielt werden. In den Schulbüchern ist meistens induktive Kopplung (Abb. 1) zu finden, vielleicht mit der Idee, dass dabei Schwingkreis und Erreger weitgehend getrennt erscheinen, so dass der Schwingkreis als eigenständiges Gebilde, sozusagen wie ein freier elm. Schwingkreis betrachtet werden kann. Dieser Fall soll als erster theoretisch untersucht werden. Ist die Idee haltbar?

Die Theorie  zu vier Kopplungsarten wird im Anhang mit zwei unterschiedlichen Methoden durchgerechnet: Die erste Schaltung wird mit Hilfe eines Systems gekoppelter Differentialgleichungen behandelt, die weiteren mit Hilfe von komplexen Widerständen. Dabei gilt für die Spule Z_L = i·ω·L und für den Kondensator Z_C = - i/ω·C). Durch die imaginäre Einheit i werden Phasenverschiebungen zwischen Strömen und Spannungen berücksichtigt.

Die Ergebnisse waren für mich einigermaßen überraschend!

Für mechanische Schwingungen wurde Resonanz bei den verschiedenen Kopplungsarten bereits anderswo untersucht.

´ Abb. 1: Induktive Kopplung

Abb. 1: Der Generator soll eine Spannung U0(t) liefert, für die wir den Ansatz machen: U0(t) = U00 exp (i(ω t-δ)). δ soll dabei eine mögliche Phasenverschiebung zwischen den Stromstärken und der Generatorspannung sein. Um die Schreibweise zu vereinfachen, schlagen wir die Phasenverschiebung δ zur Generatorspannung hinzu. Eine Rechnung, die Sie im Anhang A  nachlesen können, liefert dabei das Ergebnis der Abb.1a für die Resonanzkurve: Für kleine Frequenzen verhält sich die Spannung an der Spule 2 (UL0) wie ω2, für sehr große Frequenzen strebt der Betrag der Spannung gegen eine Konstante U00 √L2/L1 k/(1 - k2) . k ist dabei eine Abkürzung, die mit der Gegeninduktivität M = k √ L1·L2 zusammenhängt. k misst sozusagen die Kopplung zwischen beiden Stromkreisen. L2 ist die Induktivität des Schwingkreises, L1 die der Kopplungsspule. Die Frequenz der Spannungssingularität ist gegenüber ω0 = 1/√ L2·C  erhöht: ωmax2  = ω02 1/(1 - k2). Nur bei sehr schwacher Kopplung (k << 1) ist diese Verschiebung vernachlässigbar. Der asymptotische Wert der Schwingkreisspannung ist bei k = 0,1 ca. 10 % von U00√L2/L1 , wobei U00 die Generatorspannung ist. Bei reiner Transformation hätte man U00 √L2/L1 erwartet.

Abb. 1a: Die Resonanzkurve entspricht beim mechanischen Pendel der Beschleunigungskopplung (wie beim Seismographen). Da in fast allen Fällen hier eine Dämpfung außer acht gelassen wird, wird als Stelle des "Maximums der Schwingkreisspannung" die Frequenz der Polstelle verwendet. Bei k = 0,1 ergibt sich ωmax  = ω0·1,005, also recht brauchbar. 5% Fehler in der Resonanzfrequenz entsprechen bei der L-Messung einem Fehler von ca. 10%. Siehe Theorie: Anhang A

In den folgenden drei Fällen ist die Theorie deutlich einfacher, weil es naheliegend ist, mit komplexen Widerständen zu arbeiten (Anhang B). Das asymptotische Verhalten ist auch ohne die Theorie, also elementar, zu erschließen (siehe Anhang C). Wenn es die Sache Wert wäre, könnten das auch Schüler durchführen.

Abb. 2: galvanische Kopplung

Abb. 2: Für rein galvanische Kopplung ergibt sich eine Resonanzfrequenz (mit endlicher Spannung) genau bei der Eigenfrequenz ω0 des Schwingkreises. Für kleine Frequenzen ω wächst die Schwingkreisspannung linear an, für sehr große Frequenzen fällt sie mit 1/ω. Die maximale Spannung kann die Generatorspannung nicht überschreiten. Das Maximum liegt gerade da, wo sich die beiden Ströme im Schwingkreis gegenseitig aufheben (oder anders: wo ein reiner Kreisstrom fließt). Dann ist R stromlos, es kann kein Spannungsabfall an R entstehen und es kann keine weitere Energie vom Generator geliefert werden, die die Amplitude ansteigen ließe.

Abb. 2a: Die Resonanzkurve entspricht beim mechanischen Pendel der Geschwindigkeitskopplung. (siehe auch Abb. 7a,b mit Resonanzkurven nach der Theorie)

Abb. 3: induktiv-galvanische Kopplung

Abb. 3: Diese Art der induktiven Ankopplung ist relativ unüblich. Die Schwingkreisspannung geht für wachsendes ω von einem endlichen Wert aus (der im Grenzfall schwacher Kopplung U00 ist), und fällt für ω => unendlich wie 1/ω2. Die maximale Spannung bei ω = ω0   √ (1 + L2/L1) ist je nach Verhältnis der Induktivitäten zu höheren Frequenzen verschoben. Wenn k = L1/L2 = 0,1 ist, beträgt der asymptotische Wert der Schwingkreisspannung  ca. 90 % der Generatorspannung. Die Frequenz des Spannungsmaximums ist - je nach dem Verhältnis der Induktivitäten - evtl. ein Vielfaches größer als die "Idealfrequenz"  ωo . Das ist wohl einer der Gründe, weshalb diese Schaltung zum Zweck der L-Messung nicht eingesetzt wird.

Abb. 3a: Die Resonanzkurve entspricht beim mechanischen Pendel der Aufhängungskopplung, also der Situation, wo der Aufhängepunkt des Federpendels periodisch auf und ab bewegt wird. Wenn Schulbücher Resonanz in der Mechanik behandeln, wählen sie in der Regel diesen Fall aus. Siehe Theorie.

Abb. 4: kapazitive Kopplung	Abb. 4: Bei kapazitiver Kopplung wächst die Spannung bei kleinen Frequenzen zunächst wie ω2. Für sehr große Frequenzen fällt sie auf einen konstanten Wert U0 k/(1+k). Für schwache Kopplung ( k = C'/C << 1) nähert sich dieser Wert Uo. Die maximale Spannung ist (für kleine Kopplung nur leicht) zu niederen Frequenzen verschoben. Verwendet man z.B. C = 1 µF und C' = 0,1 µF, also k = 0,1, ist  ωmax ca. 5 % kleiner als die "Idealfrequenz"  ωo = 1/√(L2·C):  ωmax =  ωo·1/√(1 + k). (Der asymptotische Wert der Schwingkreisspannung ist ca. 9 % der Generatorspannung.)	Abb. 4a: Die Resonanzkurve entspricht beim mechanischen Pendel ebenfalls der Beschleunigungskopplung (wie beim Seismographen). Vgl. mit Ergebnis der Theorie.

Zusammenfassung: 1. Das oft erwünschte Ziel, für die Schule eine maximale Spannung am Schwingkreis bei einer Kreisfrequenz zu erhalten, die mit  ω0 = 1/√ L2.C übereinstimmt, lässt sich nur dann erreichen, entweder a) exakt, wenn reine galvanische Kopplung mittels eines Widerstands R vorliegt (R sollte dann möglichst groß sein), oder b) näherungsweise, wenn die Kopplung sehr schwach ist, bzw. wenn die Kopplungsgrößen (C') klein sind im Vergleich zu den entsprechenden Schwingkreisgrößen (C) bzw. wenn L1 >> L2 (Abb. 3). Im Fall der induktiven Kopplung  nach Abb. 1  sollte durch räumlichen Abstand der zwei Spulen die Gegenkopplung k = M/√ L1·L2 klein gemacht werden. 2. Der unterschiedliche Verlauf der Resonanzkurve hängt von der Ankopplung des Erregers ab. Je nach Kopplungsart hat die Resonanzkurve unterschiedliches Verhalten für kleine und sehr große Kreisfrequenzen ω. Das sollte m.E. in der Schule nicht diskutiert werden. Für die Schule besteht hier der Ausweg, diese Grenzfälle nie zu erwähnen, und eine Resonanzkurve nur in der Nähe der Resonanz zu zeichnen und diskutieren zu lassen. In Schulbüchern wird in der Regel die falsche Resonanzkurve zur verwendeten Kopplungsart angegeben. 3. Bei der induktiven Kopplung nach Abb. 3 muss man besonders vorsichtig sein. ωmax   nahe  ω0  = 1/√ L2·C  erhält man nur, wenn L1 >> L2 ! 4. Für die Messung von L mittels der Resonanzfrequenz eines Schwingkreises ist am besten galvanische Kopplung geeignet, weil bei ihr die Resonanzfrequenz genau mit der Thomson-Formel übereinstimmt (bei fehlender interner Dämpfung).

Bemerkung: Eine Dämpfung des Schwingkreises durch einen zusätzlichen internen ohmschen Widerstand ist hier gänzlich vernachlässigt. Sie führt zu einer zusätzlichen - häufig geringen - Verschiebung der Frequenz für das Maximum der Schwingkreisspannung.

Anhänge

A Theoretische Überlegungen zur ersten Schaltung (Abb. 1; induktive Kopplung):

a) Hier liegen zwei Kreise vor: Kreis 1 mit dem Funktionsgenerator, der die Spannung U₀(t) = U₀₀ exp (i(ω t+δ)) liefert und der Schwingkreis, der die Nummer 2 erhält. Nach der Maschenregel gilt für Kreis 1:

(1) U₀(t) = R·I₁ + L₁·dI₁/dt + M·dI₂/dt        

L₁·dI₁/dt und  M·dI₂/dt   kommen durch Selbstinduktion in Kreis 1 und Gegeninduktion von Kreis 2 zustande. Die eigentlichen Induktionsspannung hätten umgekehrtes Vorzeichen und hätten links eingeordnet werden müssen. Die Gegeninduktivität M  ist symmetrisch in beiden Induktivitäten (Kreis 1 wirkt auf Kreis 2 und umgekehrt), also ist der Ansatz  M = k √ L₁·L₂ üblich, wobei 0 <= k <= 1 gilt. Mittels der Gegeninduktion wirkt der Schwingkreis 2 zurück auf den Kreis 1.

(2)  0 = Q₂/C + L₂·I₂*+ M·I₁*    (* soll die erste Ableitung nach der Zeit kennzeichnen).

Wieder spielt die Gegeninduktivität eine Rolle, weil der Kreis 1 auf den Schwingkreis 2 mit der Gegeninduktion einwirkt. Zeitableitung bewirkt

(2') 0 = I₂/C + L₂·I** + M·I₁**   (** soll die zweite Ableitung nach der Zeit kennzeichnen).

Es handelt sich um ein gekoppeltes lineares Gleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Da wir nicht den Einschwingvorgang beachten wollen, genügt uns eine spezielle Lösung dieses inhomogenen Gleichungssystems, die wir durch die Ansätze

I₁(t) = I₁₀ · exp(i·ω·t)            und                I₂(t) = I₂₀ · exp( i·ω·t)

erhalten. Der zeitabhängige Faktor fällt dann auf beiden Seiten der Gleichungen heraus und es folgt:

(1") U₀₀ exp(-iδ) =   i·ω·L₁·I₁₀ + i·ω·M·I₂₀

(2")               0     =  I₂₀ /C  -  ω²·L₂·I₂₀   -  ω²·M·I₁₀

Wir erhalten:             I₁₀ = I₂₀ ( 1/MCω²  - L₂/M )   = I₂₀ L₂/M ( 1/L₂Cω²  -  1)  = I₂₀ L₂/M ( ω₀²/ω²   -  1)

eingesetzt in (1"):   U₀₀ exp(-iδ) =  i·ω·L₁L₂/M I₂₀ ( ω₀²/ω²   -  1)   + i·ω·M·I₂₀  also

U₀₀ exp(-iδ) = i·ω· M·I₂₀ ·[ L₁L₂/M²  ( ω₀²/ω²   -  1)  + 1 ] = i·ω · M·I₂₀ · [ 1/k²  ( ω₀²/ω²   -  1)  + 1 ]

Die rechte Seite der Gleichung ist rein imaginär, also wegen exp(-iδ) = cos δ - i sin δ

U₀₀ sin δ  = - I₂₀ · ω · [ L₁ ( 1/MCω²   - L₂/M ) + M ]

Es folgt

cos(δ) = 0 , also  δ = +/-90⁰  und  sin  δ = +/-1  , also für den Betrag  /U₀₀/  = / M·I₂₀ ·ω· [ 1/k²  ( ω₀²/ω²   -  1)  + 1 ]  / und

also I₂₀ =  / U₀₀ 1/ω  1/(M[ 1/k ²( ω₀²/ω²   - 1 ) + 1 ]) /  

Damit dann (bis auf das Vorzeichen)

U_L0 = iω·L₂·I₂₀ =  iω·L₂ · U₀₀ /  (ω·M[ 1/k ²( ω₀²/ω²   - 1 ) + 1 ]) =  i·L₂·L₁/ML₁ U₀₀ / [ 1/k ²( ω₀²/ω²   - 1 ) + 1 ] =  i √L₂/L₁ · U₀₀ · k / [ ( ω₀²/ω²   - 1   + k² ]

Uns interessiert nur der Betrag davon:

/UL0/ =   √L2/L1 · U00 · k / [ ( ω02/ω2   - 1   + k2 ] /

Der Betrag der Schwingkreisspannung ist maximal, wenn der Nenner verschwindet, also, wenn

ω₀²/ω²    =  ( 1 - k²)

bzw., wenn  ω²   =  ω₀² 1/(1 - k²).  Das Maximum wird also leicht zu größeren Frequenzen verschoben.

Zu Abb. 1, 5: Induktive Kopplung Für ω => 0 gilt näherungsweise UL0 =    i  U00 √L2/L1 k ω2/ω02  , d.h.,  die Schwingkreisspannung wächst für kleine ω quadratisch mit ω· Für ω => unendlich überlebt im Nenner nur (1 - k2), also gilt näherungsweise /UL0/ =   /U00/ √L2/L1  k/ (1 - k2) Der Betrag von ULO strebt einem konstanten Wert mit dem Betrag /U00/ √L2/L1 k/ (1 - k2) zu. Nur für sehr kleine k ist dieser Wert nahezu 0. Die maximale Schwingkreisspannung kann die Generatorspannung weit überschreiten. (blaue Kurve: k = 0,1; rote Kurve k = 0,2; L1 = L2)

Abb. 5: Berechnete Resonanzkurve bei induktiver Kopplung

Anhang B Untersuchung mit komplexen Widerständen

b) Bei den folgenden Ableitungen sind induktiver Widerstand Z_L = i·ω·L₂ und kapazitiver Widerstand Z_C = - i/(ω·C) parallel geschaltet. Wir erhalten für den komplexen Schwingkreiswiderstand Z_S:

1/Z_s =  1/(iωL₂)  + i ωC  = i (- 1 + ω² L₂C ) / (ωL₂)  = i (ω²/ ω₀² - 1) / (ωL₂)      

Dieser Widerstand Z_s ist in Reihe geschaltet mit Z_L1, R oder Z_C'.

	(1b) Zges = iωL1 + Zs		(induktiv-galvanisch)
...............	(1c) Zges = R + Zs	......	(galvanisch)
	(1d) Zges = -i/(ωC') + Zs		(kapazitiv)

Wenn X der Reihe nach der komplexe Widerstand des jeweiligen Kopplungsglieds ist, erhalten wir für die Schwingkreisspannung  jeweils

U_L = U₀ Z_s/Z_ges  =   U₀/ (1 + X/Zs) = U₀/ [ 1 + i·X·(ω²/ ω₀² - 1) / (ωL₂) ]

Der Gesamtwiderstand ist in den zwei Fällen (1b) und (1d) rein imaginär. Sein Betrag kann bei einer bestimmten Kreisfrequenz ω_max  verschwinden. Dort wird die Amplitude der erzwungenen Schwingung über alle Grenzen wachsen, wenn ein interner ohmscher Widerstand im Schwingkreis vernachlässigt wird. Das geschieht, wenn

(1b) /Z_ges/ =  ωL₁ + ωL₂ /(ω²/ ω₀² - 1) = ( ωL₁(ω²/ ω₀² - 1)  + ωL₂ ) /(ω²/ ω₀² - 1) = ω L₁ ( ω²/ ω₀² - 1 + L₂/ L₁ )/ (ω²/ ω₀² - 1) = 0, wenn also

ω²/ ω₀² - 1 + L₂/ L₁ bzw.  ω²  = ω₀²  ( 1 - L₂/ L₁) , also, wenn ω_max = ω₀ √ ( 1 - L₂/ L₁) = ω₀ √1 - 1/k  , wobei  k = L₁/L₂

(1c) /Z_ges/ =  -1/(ωC') + ωL₂ /(ω²/ ω₀² - 1) = ωL₂ ( - C/(ω²C'CL₂) + 1/(ω²/ ω₀² - 1) = ωL₂ ( - C/C' ω₀²/ω² (ω²/ ω₀² - 1)  + 1 ) / (ω²/ ω₀² - 1) = 0 , wenn also

ω₀²/ω² = 1 + C'/C  bzw.  ω_max = ω₀ √ 1/(1+k)   , wobei k = C'/C

Bei galvanischer Kopplung verschwindet der komplexwertige Gesamtwiderstand an keiner Stelle.

.

1. Fall induktiv-galvanische Kopplung(Abb. 3):

Dann gilt (2b) X = i·ω·L₁ und

U_L = U₀/ [ 1 - ωL₁ (ω²/ ω₀² - 1) / (ωL₂) ] = U₀/ [ 1 - L₁ /L₂ (ω²/ ω₀² - 1) ] , also für den Betrag

/UL / = / U0/ [ 1 + k - k (ω2/ ω02  ) ] /

mit  k = L₁/L₂

Maximale Schwingkreisspannung ergibt sich, wenn der Nenner verschwindet, wenn also 1 + k = k (ω²/ ω₀²)  => (ω²/ ω₀² ) = 1/k + 1 => ω² =  ω₀²·(1/k + 1 ) . Wir erhalten also

ω_max = ω₀   √ (1 /k + 1)

 Für ω => 0 strebt U_L gegen U₀/( (k  + 1 ) , U_L und U₀ schwingen in Phase. Für ω => unendlich dagegen verhält sich U_L  wie - U₀ 1/k  ω₀²/ ω² . U_L  ist jetzt gegenphasig zu U₀ . Der Betrag fällt mit 1/ω² gegen 0.

2. Fall kapazitive Kopplung (Abb. 4):

Zu Abb. 4, 6: Kapazitive Kopplung UL = U0/ (1 + i·X·(ω2/ω02 - 1) / (ωL2) )    mit (2d) X = -i/ωC' Zur Abkürzung führen wir noch k = C'/C ein. Also: UL =   U0/ (1 + (ω2/ ω02 - 1) / (ω2L2C') = U0/ (1 + (ω2/ω02 - 1) / (ω2/ ω02 C'/C ) = U0/ (1 + C/C' -  ω02/ ω2 C/C') = U0C'/C / (C'/C + 1  -  ω02/ ω2 ), also /UL / =  /U0 k / (1 + k -  ω02/ ω2 )/ Maximale Schwingkreisspannung ergibt sich, wenn der Nenner verschwindet, wenn also 1 + k = ω02/ ω2  bzw.  ω2 = ω02/(1 + k), also ωmax = ω0√1/(1 + k). Das Maximum ist zu kleineren Frequenzen verschoben. Für ω => 0 verhält sich UL wie - U0 k  ω2/ ω02 . UL und U0 schwingen also gegenphasig. Der Betrag von UL wächst damit mit ω2. Für ω => unendlich  strebt UL gegen U0 k / (1 + k) Die maximale Spannung kann die Generatorspannung weit überschreiten. (blaue Kurve: k = C'/C = 0,1; rote Kurve k = 0,2)

Abb. 6: Berechnete Resonanzkurve bei kapazitiver Kopplung

3. Fall galvanische Kopplung (Abb. 2):

U_L = U₀/ (1 + i·X·(ω²/ ω₀² - 1) / (ωL₂) ) mit  (2c)  X = R

Es ergibt sich

U_L = U₀/ (1 + i R (ω²/ ω₀² - 1) / (ωL₂) ) = U₀  / ( 1 + i R (ω²/ ω₀² - 1)/ωL₂ mit dem Betrag

/U_L/ = /U₀ ( 1 + R²(ω²/ ω₀² - 1)²/ω²L₂² ) ^-1/2 /  = /U₀  [ 1 + R²/L₂² (ω / ω₀² - 1/ω)² ] ^-1/2 /  = /U₀   [ 1 + R²C^2/(C²L₂²) (ω / ω₀² - 1/ω)² ] ^-1/2 / , also

/UL/ = /U0  [ 1 + ω04· τ2 (ω / ω02 - 1/ω)2 ] -1/2 /       ,          wobei  τ = R·C

Für ω => 0 verhält sich /U_L/  wie /U₀/ [ R^2/L₂² /ω ² ] ^-1/2  = /U₀/ L₂ / R ω  =  /U₀/ ω/(τ·ω₀²), wächst also linear mit ω.

Für ω =>unendlich verhält sich /U_L/  wie /U₀/  [ R^2/L₂² (ω / ω₀² )² ] ^-1/2  = /U₀/  L₂ / R  ω₀²  / ω =  /U₀/  1/( τ·ω ), fällt also mit 1/ω gegen 0 ab.

Es gibt offenbar keine Stelle, wo der Nenner 0 wird.  1 + R²/L₂² (ω / ω₀² - 1/ω)² > 0  . Es könnte ein relatives Maximum vorliegen. Also:

d/ U_L/  dω ⁼  /U₀/ (-1/2)  [ 1 + R²/L₂² (ω / ω₀² - 1/ω)² ] ^-3/2 · (R²/L₂²  2 (ω / ω₀²  - 1/ω) (1/ω₀² + ω^-2 ) = 0, wenn ω / ω₀² =  1/ω, bzw. ω_max ² = ω₀² .

Durch den Ohmschen Widerstand R ist diese R-L-C-Kombination gedämpft. Es gibt ein endliches Maximum bei der Eigenfrequenz des Schwingkreises! Bei kleinem Widerstand zwingt der Funktionsgenerator dem Schwingkreis seine Schwingung zu stark auf, und eine Resonanz ist nicht mehr erkennbar.

	Zu Abb. 2, 7: Zwei verschiedene Resonanzkurven bei galvanischer Kopplung: τ = R·C = 1 ms. Um eine scharfe Resonanzkurve zu erhalten, sollte der Schwingkreis möglichst schwach an den Frequenzgenerator angekoppelt sein: möglichst großer Kopplungswiderstand (hier C = 1 µF, R = 1000 Ohm => τ = 1 ms). Die maximale Schwingkreisspannung kann die Generatorspannung nicht überschreiten.
	τ = 0,1 ms (hier C = 1 µF, R = 100 Ohm => τ = 0,1 ms) Hier ist der Kopplungswiderstand zu klein. Er entzieht dem Schwingkreis zuviel Energie. Der Funktionsgenerator zwingt dem Schwingkreis zu stark seine eigene Amplitude auf.
Abb. 7: Berechnete Resonanzkurven bei galvanischer Kopplung

C Elementare Überlegungen

b) Zu Abb. 2, 7 (galvanische Kopplung)

Für kleine Frequenzen strebt der komplexe Widerstand der Spule iωL₂ gegen 0. Es ist also eine kleine Spannung am Schwingkreis zu erwarten. Die Schaltung wirkt als Spannungsteiler und es bildet sich am Schwingkreis eine Spannung iωL₂ / (R + i ωL₂ ) aus. Der Betrag ist U₀ωL₂ 1/√(R² + ω²L₂ ²) = U₀1/√(R² / ω²L₂ ² + 1).

Für ω =>0 ist die 1 im Nenner vernachlässigbar und U_L0 verhält sich wie U₀ ωL₂/R, wächst also mit ω linear an.

Für sehr große ω dagegen verhält sich die Schaltung wie eine Spannungsteilerschaltung von R und -i/ωC.  /U_L0/ verhält sich also wie U₀ 1/ωC/√(R²+1/ω²C²) =  U₀ 1/√(R²ω²C² + 1 ) = U₀ 1/(RωC), strebt also wie 1/ω gegen 0.

c) Zu Abb. 3, 5 (induktiv-galvanische Kopplung):

Bei kleinen Frequenzen ist der kapazitive Widerstand von C sehr groß im Vergleich zu den induktiven Widerständen von L₁ und L₂. De facto liegt für kleine Frequenzen eine Spannungsteilerschaltung mit zwei Spulen vor. Die Eingangspannung U₀ wird im Verhältnis von ωL₂/ω(L₁+L₂) = 1/(1+k)   (k = L₁/L₂): horizontale Asymptote bei dieser Spannung.

Bei sehr großen Frequenzen ist im Schwingkreis der kapazitive Widerstand -i/ωC sehr klein im Vergleich zum induktiven Widerstand iωL₂. Es gilt wieder das Argument der Spannungsteilerschaltung. Am Schwingkreis entsteht eine Spannung U₀ -i/ωC / iωL₁= U₀ ω₀² / ω² L₂/L₁ . Die Schwingkreisspannung fällt wie 1 /ω² auf 0.

d) Zu Abb. 4, 6 (kapazitive Kopplung):

Bei großen  Frequenzen überwiegt der induktive Widerstand iωL₂ der Schwingkreisspule. Die Spannungsteilerschaltung besteht aus den kapazitiven Widerständen -i/ωC' und -i/ωC. Es bildet sich eine Schwingkreisspannung aus, die sich bei großen Frequenzen verhält wie U₀ 1/C / (1 /C + 1/C') = U₀ C'/( C + C') = U₀ k/(1 + k ), wobei k = C'/C.

Bei sehr kleinen Frequenzen dominiert der kleine induktive Widerstand iωL₂  den Schwingkreiswiderstand. U_L0 verhält sich wie U₀ iωL₂ / ( iωL₂ -i/ωC') = U₀ L₂ / ( L₂ -1/ω²C'). Der Betrag davon verhält sich wie U₀ L₂ ω²C' = U₀ L₂C ω² C'/C = U₀ ω²/ω₀²   C'/C , wächst also mit ω².

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( Sonderzeichen korrigiert, Überschriften eingefügt 2014)

( März 2016 : Formatierungsfehler beseitigt )