1. Beschreibung von Schwingungen - wichtige Begriffe

Eine Schwingung ist ein Vorgang, der sich in einem festen Rhythmus ständig wiederholt. Eine freie Schwingung oder Eigenschwingung nennt man ihn, wenn ein Pendel (vornehm: Oszillator) einmal angestoßen, sich selbst überlassen schwingt in einem Rhythmus, der nur vom Pendel abhängt, also dem Pendel "eigen" ist. Im Unterschied dazu heißt eine Schwingung, die nur bei ständiger Energiezufuhr durch eine Erregerschwingung bestehen bleibt, "erzwungene Schwingung".

An eine Schraubenfeder mit der Federkonstanten D wird ein Körper der Masse m (die Pendelmasse) gehängt. Das Pendel kann uinterschiedlich angestoßen werden (Abb.1 und 2), aber es ergibt sich immer eine periodische Bewegung. Dir fällt Einiges auf: Die Schwingung erfolgt symmetrisch um die "Ruhelage". Das ist die Position der Pendelmasse, in der sie ruht, wenn das Pendel nicht angestoßen ist. Manchmal heißt sie auch "Gleichgewichtslage". Wenn die Pendelmasse durch die Ruhelage hindurchschwingt, spricht man auch von einem "Nulldurchgang". In in immer gleichen Zeitabständen wiederholt sich ein bestimmter Schwingungszustand. Den kleinsten solcher Zeitabstände nennt man eine "volle Schwingung" oder "Periode", die zugehörige Zeit "Schwingungsdauer T". Die Schwingungsdauer ist immer die gleiche, nur abhängig von D und m. Wenn die Pendelmasse weiter ausschwingt, wenn sie also einen weiteren Weg für eine volle Schwingung zurücklegen muss, muss sie schneller schwingen, um die gleiche Zeit T einzuhalten. Es gibt einen oberen und einen unteren "Umkehrpunkt". In den beiden Umkehrpunkten ruht die Pendelmasse kurzzeitig, wenn eine Schwingung angestoßen ist.

Abb. 1:  Die Pendelmasse wird nach oben ausgelenkt und dann losgelassen: Start im oberen Umkehrpunkt. Die anfängliche Auslenkung bleibt (im Idealfall) die maximale Auslenkung für die ganze Schwingung.	Abb. 2:  Die Pendelmasse befindet sich in der Ruhelage und erhält dort eine kurzen kräftigen Stoß, der sie quasi sofort auf eine große Geschwindigkeit bringt: Start in der Ruhelage mit maximaler Geschwindigkeit. Diese Geschwindigkeit bleibt (im Idealfall) die Maximalgeschwindigkeit im Verlauf der ganzen Schwingung.

Wir wollen eine reale Schwingung eines Federpendels registrieren. Dazu bietet sich - neben vielen anderen Verfahren - ein Sonarmeter an. Es misst Entfernungen durch die Laufzeit von Ultraschall-Impulsen. Wie üblich muss für eine Registrierung oder Messung ein Koordinatensystem willkürlich festgelegt werden. Es bietet sich an, als Koordinatenursprung die Ruhelage zu wählen, als positive Koordinatenrichtung vielleicht die vertikale Richtung nach oben. Die jeweilige Ortskoordinate x heißt dann "Auslenkung x". Auf dem Bildschirm sieht die Schwingung dann etwa so aus wie in Abb. 3. Die charakteristischen Situationen sind per Hand nachträglich eingetragen:

Abb. 3: Bildschirmfoto einer Schwingung, erzeugt mit dem Sonarmeter. Neben dem t-x-Graph wurde gleichzeitig auch der t-v-Graph aufgenommen. (Leider ist diese Schwingung leicht gedämpft, ist also nur näherungsweise eine harmonische Schwingung.) An den Umkehrpunkten ist die Geschwindigkeit 0 (für einen oberen und unteren Umkehrpunkt markiert). Beim Durchgang durch die Ruhelage ist die Geschwindigkeit maximal oder minimal, sie hat dort auf jeden Fall ihren größten Betrag; dort ist die Pendelmasse "am schnellsten". t-x-Graph und t-v-Graph haben etwa gleiche Gestalt, sind aber gegeneinander "phasenverschoben". Es gibt eine maximale Auslenkung. Sie heißt Schwingungsweite oder Amplitude A. Die Schwingungsdauer T ist hier unabhängig von der Amplitude A. Wegen der Dämpfung infolge der Luftreibung nimmt die Amplitude allmählich ab.

Abb. 4: Auch der t-a-Graph kann so mit dem Sonarmeter registriert werden. In der Abb. links kann er mit dem t-x-Graphen verglichen werden. Beide Graphen unterscheiden sich durch die Maximalwerte (Amplituden) und das Vorzeichen, haben sonst aber sehr ähnlichen Verlauf. Beschleunigung a und Auslenkung x haben immer entgegengesetztes Vorzeichen. Sie sind auch zueinander proportional. In der Ruhelage (x = 0) ist auch die Beschleunigung 0. In den Umkehrpunkten hat die Beschleunigung maximalen Betrag, obwohl dort die Pendelmasse kurzzeitig ruht.

Alle Graphen sehen sinus- oder cosinusförmig aus, offenbar sehr harmonisch. Deshalb heißt eine Schwingung, bei der die Auslenkung sinus- oder cosinusförmig von der Zeit abhängt, eine "harmonische Schwingung".

Was steckt dahinter, dass der t-x-Graph und der t-a-Graph immer gegenphasig verlaufen?

.

2. Die Kraft bei der harmonischen Schwingung

Wegen F = m·a hat der t-F-Graph gleichen Verlauf wie der t-a-Graph. D.h. die Kraft, die auf die Pendelmasse wirkt und die Auslenkung sind immer entgegengesetzt. Außerdem sind Kraft F und Auslenkung x zueinander proportional. Man sagt, die harmonische Schwingung sei die Folge einer "auslenkungsproportionalen Rückstellkraft". Die Kraft heißt Rückstellkraft, weil sie die Pendelmasse immer in die Ruhelage "zurückstellen" möchte. Sie heißt auslenkungsproportional, weil sie proportional zur Auslenkung x ist.

Mit der so genannten Radardarstellung des Sonarmeters oder dem Phasendiagramm (x-a-Diagramm) lässt sich das besonders eindringlich zeigen:

Abb. 5: In der Radardarstellung wird die momentane Position der Pendelmasse jeweils auf den Bildschirm gebracht (weißer Kreis) und auch der Beschleunigungsvektor mit Betrag und Richtung als weißer Pfeil dargestellt. Position x und Beschleunigung a sind bei einem realen Federpendel mit dem Sonarmeter gemessen. Es wird besonders augenfällig, dass Auslenkung x und Beschleunigung a bzw. Kraft F immer entgegengesetzt sind (Rückstellkraft), dass bei verschwindender Auslenkung (x = 0; Ruhelage) die Kraft verschwindet, und dass bei maximalem Betrag der Auslenkung (Umkehrpunkte) auch a bzw. F maximalen Betrag haben (größte Pfeillänge). (Im Bild ist leider eine horizontale Schwingung auf der Fahrbahn mit zwei Federn zu beiden Seiten der Pendelmasse dargestellt. Bei einer vertikalen Schwingung musst du dir das Bild um 900 gedreht vorstellen.)

Abb. 6: Phasendiagramm (x-a-Diagramm) der harmonischen Schwingung des realen Federpendels von Abb. 5. Beide sind ganz offensichtlich proportional zueinander (Ursprungsgerade) und haben umgekehrtes Vorzeichen.

Damit lässt sich das Zustandekommen einer harmonischen Schwingung verstehen:

Die Kraft F ist also proportional zur negativen Auslenkung x:            F prop. - x

Das ist aber das altbekannte Hooke'sche Gesetz für die Feder, das du in der Form F = D·s kennst. Dabei sind F und s aber nur die Beträge von Kraft und Dehnung. Mittlerweile kennen wir aber Kraft und Ort als Vektoren, und im eindimensionalen Fall können wir sie durch die Koordinaten F und x ausdrücken. Also, aus F = - D·x folgt für die Beträge das Hooke'sche Gesetz in der altbekannten Form |F| = D·s   (s = |x|).

Aus F = - D·x  folgt die Beschleunigung a = - D/m ·x . Die Proportionalität von a und x ist also eine Folge des Hooke'schen Gesetzes.

.

3. Von der Kraft F zu Auslenkung x und Geschwindigkeit v

Von der Beschleunigung a bzw. Kraft F kommt man zur Geschwindigkeit v und der Ortskoordinate x z.B. mit der Methode der kleinen Schritte.

Es geht auch anders, wenn du in Mathematik etwas mehr Erfahrung hast:

Da die Beschleunigung a die zweite Ableitung x^·· des Orts x nach der Zeit t ist, handelt es sich bei der Gleichung a = - D/m ·x um eine Differenzialgleichung

Da wir schon im Experiment erfahren haben, dass das t-x-Gesetz sehr nach einem Sinus (oder Cosinus) aussieht, machen wir für die Lösung der DGL den Ansatz:

x(t) = A· sin (ω·t + δ)

A und ω sind zunächst noch unbekannt. Dabei wurde gleich noch ein konstanter Parameter δ ergänzt. Du wirst gleich sehen, wozu der gut ist.

Dann folgt für die Ableitung nach der Zeit t:

v(t) = x^· = A· ω · cos(ω·t + δ)

und wegen a(t) = v^· = x^··

a(t) = - A· ω²· sin(ω·t + δ)

eingesetzt in die beiden Seiten der DGL ergibt sich also

- A· ω²· sin(ω·t + δ) = - D/m · A· sin (ω·t + δ)

Die DGL lässt sich mit unserem Ansatz erfüllen, wenn

ω ist damit allein durch die Eigenschaften des Pendels festgelegt. Wir haben also erhalten

x(t) = A· sin (ω·t + δ) v(t) = A· ω · cos(ω·t + δ) a(t) = - A· ω2· sin(ω·t + δ) = - ω2· x(t)

Wenn δ = 0 ist, ergibt sich eine der beiden Lösungen nach Abb. 1 oder 2. Welche?

Ergibt sich auch eine der beiden Lösungen, wenn δ = π/2 ?

Du kannst ja die Anfangsbedingungen x(0) und v(0) für jedes beliebige δ berechnen, wenn du im Kasten t = 0 setzt. Probier's aus und entscheide, welche anschauliche Situation vorliegt.

Die Theorie der DGL sagt, dass es sich um die allgemeine Lösung handelt, wenn sie zwei Parameter wie A und δ enthält. Wenn sie zwei Parameter enthält, lässt sie sich für alle möglichen Anfangsbedingungen spezialisieren.

Damit kannst du auch die Schwingungsdauer T errechnen: Nach einer Schwingungsdauer ist genau eine Periode verstrichen. Das Argument des Sinus hat sich also um 2π verändert, und es gilt ω·T = 2·π, also

T = 2·π /ω = 2·π √m/D

Es gilt auch ω·= 2·π/T = 2·π·f , weil die Frequenz f der Kehrwert der Schwingungsdauer T ist. Zunächst sind also ω und f bis auf einen Faktor im wesentlichen das Gleiche. ω heißt deshalb Kreisfrequenz, weil der Faktor 2·π wie beim Kreisumfang auf den Kreis hinweist.

Die Schwingungsdauer sei T = 0,1 s. Dann ist f = 1/T = 10 s^-1 = 10 Hz  (Hertz); es erfolgen also 10 Schwingungen pro s. Das gilt auch allgemein:

Die Frequenz f = 1/T misst die Zahl der Schwingungen pro Sekunde.

T = 2·π √( m/D)  entspricht den Experimenten:

Je größer die Masse m, desto träger ist sie, desto länger wird die Zeit für eine volle Schwingung. Je härter die Feder, je größer also D, desto schneller wird eine volle Schwingung vollendet, desto kleiner ist also T.

Schätze in Abb. 7 oder 8 die Größe von ω durch Amplitudenvergleich ab! Es sollte sich auch die ebenfalls aus der Abbildung ablesbare Schwingungsdauer T ergeben!

Aufgabe: Bei einer harmonischen Schwingung gemäß (1)  x(t) = A· sin (ω·t + δ) (2)  v(t) = x· = A· ω · cos(ω·t + δ) sollen die Konstanten A und  δ so angepasst werden, dass sich die Schwingungsformen für verschiedene Anfangsbedingungen ergeben: a) zur Zeit 0 soll die Pendelmasse durch die Ruhelage gehen und dabei maximale Geschwindigkeit vmax haben. b) zur Zeit 0 soll die Pendelmasse im oberen Umkehrpunkt bei x = xmax gerade kurzzeitig ruhen. . Zu a): Es muss also gelten: I  x(t = 0) = 0 II v(t = 0) = vmax = maximal Aus (1) und I: 0 = x(0) = A· sin (δ)    => z.B. δ = 0 Aus (2) und II: vmax = v(0) = A· ω · cos(δ) Mit δ = 0 und cos(δ) = 1 folgt also vmax = v(0) = A· ω  bzw.   A = vmax / ω Damit ist die Schwingung vollständig festgelegt:  x(t) = vmax / ω · sin (ω·t) Zu b): Es muss also gelten: I  x(t = 0) = A II v(t = 0) = 0 Mit (2) und II: 0 = v(0) = A· ω · cos(δ) , also z.B. & = π / 2. Mit (1) und I: xmax =  x( t=0 ) = A· sin (δ) = A , da sin(π / 2) = 1 usw. Wieder ist die Schwingung vollständig festgelegt, nämlich .... ( x(t) = A · cos( ω·t ) !? )

Um die allgemeine Lösung (1) an spezielle zwei Anfangsbedingungen (x(0) und v(0)) anzupassen benötigt man also die zwei Konstanten im Ansatz der Differenzialgleichung! Statt eines Ansatzes mit A und δ gibt es auch den Ansatz x(t) = A·sin(ω·t) + B·cos(ω·t) mit den zwei Konstanten A und B, die sich wieder für die spezielle Schwingungsform gemäß deren zwei Anfangsbedingungen anpassen lassen. (Siehe Anhang)

Abb. 7: t-x-Diagramm (blau), t-v-Diagramm (rot), t-a-Diagramm (gelb). Qualitativ entspricht das t-a-Diagramm auch dem t-F-Diagramm. a) Versuche dich an Hand des Diagramms zu überzeugen, dass die folgende Beschreibung der Bewegung links richtig ist: Zur Zeit 0 ist die Auslenkung (blau) 0, der Körper befindet sich also in der Ruhelage. Durch einen hier nicht gezeichneten plötzlichen Stoß (oder durch die Vorgeschichte) hat der Körper in der Ruhelage eine positive Geschwindigkeit erhalten (rot). Während der Körper von 0 bis ca. 2 s aus der Ruhelage zu seinem oberen Umkehrpunkt schwingt, nimmt die Geschwindigkeit v ab. Dementsprechend ist die Beschleunigung (gelb) negativ. Von ca. 2 s bis ca. 4 s schwingt die Pendelmasse vom oberen Umkehrpunkt zur Ruhelage zurück. Dabei nimmt der Betrag der Geschwindigkeit zu, aber die Geschwindigkeit ab (Rückwärtsbewegung). Die Beschleunigung ist dementsprechend auch hier negativ. Von ca. 4 s ab schwingt die Pendelmasse über die Ruhelage hinaus in den negativen Bereich. Eine positive Rückstellkraft versucht dies zu verhindern. Deswegen ist hier auch die Beschleunigung positiv, die Geschwindigkeit nimmt also zu. Da sie noch negativ ist, wird ihr Betrag dabei immer kleiner, die Pendelmasse also immer langsamer, bis sie schließlich bei ca. 6s kurzzeitig zum Stillstand kommt, usw. b) Gehört das zu einer der Anfangsbedingungen von Abb. 1 oder 2?

.

Abb. 8: t-x-Diagramm (blau), t-v-Diagramm (rot), t-a-Diagramm (gelb) mit anderen Anfangsbedingungen als in Abb. 5. a) Beschreibe die Situation zur Zeit 0! Wie muss das Pendel angestoßen werden, damit sich diese Anfangsbedingung ergibt? b) Begründe, weshalb zur Zeit 3 s die Geschwindigkeit negativ und die Beschleunigung (Kraft) positiv ist! c) Zur Zeit 4 s (ca.) ist die Auslenkung x minimal, die Beschleunigung maximal. Was kannst du über die Geschwindigkeit sagen? Wo befindet sich dann die Pendelmasse, wie bewegt sie sich entsprechend dem Diagramm? d) entspricht dieser Situation eine der Zeichnungen Abb. 1 oder 2?

.

4. Rolle der konstanten Gewichtskraft

Spielt nicht das Gewicht der schwingenden Masse eine Rolle? Es wirkt doch während der ganzen Schwingung nicht nur die Rückstellkraft!?

Du hast Recht: Durch das Gewicht der Pendelmasse wird die Ruhelage verschoben. Wenn man aber die Schwingung um die verschobene Ruhelage (mit dem Koordinatenursprung dort) betrachtet, spielt das Gewicht der Pendelmasse keine weitere Rolle mehr.

Das ist plausibel. Die Begründung ist nicht so wichtig. Du kannst sie nachholen, wenn du dich mit den Energien bei der Schwingung auskennst.

Wenn du das wider Erwarten nicht einsehen würdest, könntest du ja eine horizontale Schwingung eines Gleiters auf der Luftkissenfahrbahn zwischen 2 Federn betrachten. Obwohl hier das Gewicht keine Rolle spielt, ergibt sich die gleiche Schwingung.

.

5. Anschaulicher Zusammenhang zwischen den Graphen

Aufgabe: Aus t-x-Diagramm t-v- und t-a-Diagramm qualitativ entwickeln

Abb. 9: t-x-Diagramm einer harmonischen Schwingung Es sind die Ruhelage (R) eingetragen, die oberen Umkehrpunkte (OU) und ein unterer Umkehrpunkt (UU), ferner die Bereiche, in denen die Steigung des t-x-Graphen positiv und negativ ist. In den Umkehrpunkten ist die Geschwindigkeit 0. Skizziere ein dazu passendes t-v-Diagramm indem du zunächst Punkte für Nullstellen und Extremwerte einzeichnest und dann irgendwie "gerundet" verbindest. Skizziere dann in der entsprechenden Weise auch ein t-a-Diagramm. Eine mögliche Lösungsskizze findest du hier.

Lässt sich eine solche Schwingung auch mit den Newton'schen Gesetzen vorherberechnen, wenn man mit der Differenzialgleichung der Schwingung noch nicht vertraut ist?  Natürlich! Siehe Kausalität!

.

6. Energien bei der harmonischen Schwingung - Erhaltungsgröße Energie

Für die kinetische Energie gilt:  E_kin = m/2 v². Du kannst eine Skizze ihres ungefähren Verlaufs aus einem t-v-Diagramm unter Berücksichtigung des Quadrats entwickeln:

Für die Spannenergie gilt hingegen Espann = D/2 x2. Ganz entsprechend kannst du auch hier eine Skizze des Verlaufs erraten:	Abb. 10: Geschwindigkeit und kinetische Energie Wo (oberer, unterer Umkehrpunkt, Ruhelage?) ist die kinetische Energie maximal? Markiere! Wo ist sie 0? Markiere!
	Abb. 11: Auslenkung x und Spannenergie Wo (oberer, unterer Umkehrpunkt, Ruhelage?) ist die Spannenergie maximal? Markiere! Wo ist sie 0? Markiere!

Das Sonarmeter zeigt die Gültigkeit des Energieerhaltungssatzes, nämlich, dass die Summe aus kinetischer Energie und Spannenergie konstant ist. Die Summe der Energien heißt auch Gesamtenergie.

Abb. 12: So sieht die Energieerhaltung bei einem Federpendel im Experiment mit dem Sonarmeter aus. Es sind die kinetische Energie, die Spannenergie und die Summe beider eingetragen. Du siehst, dass in den Umkehrpunkten die kinetische Energie 0 ist, die Spannenergie maximal. In den Ruhelagen verschwindet die Spannenergie, dafür ist die kinetische Energie dort maximal.

Die Energieerhaltung lässt sich leicht beweisen:

Zunächst kann sie anschaulich plausibel gemacht werden:

Abb. 13: Links ist die Fläche gelb markiert, die oberhalb der Kurve für die kinetische Energie (blau) bis zum Graphen der Gesamtenergie fehlt. Andererseits ist weiter rechts die Fläche unter dem Graphen der Spannenergie (rot) markiert. Sie passt genau in das fehlende Stück über der Kurve der kinetischen Energie: Beide zusammen ergänzen sich zur konstanten Gesamtenergie. Noch anschaulicher für einige Punkte: Dort, wo die kinetische Energie verschwindet, ist die Spannenergie maximal und gleich der Gesamtenergie. Das entsprechende gilt auch umgekehrt. Wo sie gleich sind, stellt jede die Hälfte der Gesamtenergie dar.

Wenn du etwas Erfahrung mit trigonometrischen Funktionen hast, kannst du das auch exakt beweisen:

Mit x(t) = A· sin (ω·t + δ) v(t) = x· = A· ω · cos(ω·t + δ) gilt: Espann = D/2·x2 = D·A2/2 sin2(ω·t + δ) und Ekin = m/2·v2 = m·A2·ω2/2 cos2(ω·t + δ). Aber wegen ω2 = D/m folgt auch Ekin = D·A2/2 · cos2(ω·t + δ) Die beiden Energieanteile haben also die gleiche Amplitude DA2/2. In der Summe können wir diesen Faktor vorziehen und es verbleibt noch Espann + Ekin = D·A2/2 ·(sin2 + cos2) = D·A2/2    (die Argumente von sin und cos wurden hier der Kürze wegen weggelassen; im letzten Schritt wurde der "trigonometrische Pythagoras" angewendet: sin2 (α) + cos2(α) = 1 ).

Die Gesamtenergie ist also konstant, es gilt E_ges = D·A²/2, und die Gesamtenergie ist wie jede der Teilenergien proportional zum Quadrat der Amplitude A. Das gilt in vielen Fällen:

Der Satz wird später noch eine wichtige Rolle spielen.

Im Phasendiagramm (x-v-Diagramm) hat jeder Punkt die Koordinaten (x,v). Versehen wir die v-Koordinate mit einem Faktor 1/ω.  Der Abstand zum Koordinatenursprung ist dann √ (x² + v²/ω²). Bis auf den Faktor D/2 stellen die beiden Summanden E_spann und E_kin dar. Der EES sagt also, dieser Abstand ist konstant. Alle Punkte (x,v/ω) liegen auf einem Kreis. Ein Kreis im Phasendiagramm beweist den EES. (Hätten wir den Faktor 1/ω nicht ergänzt, hätte sich eine Ellipse ergeben, die ebenso den EES bewiesen hätte.

Abb. 14: Im Phasendiagramm (x-v-Diagramm) ergibt sich bei geeigneten Maßstäben für x und v in guter Näherung ein Kreis, hier gemessen mit dem Sonarmeter. Auch eine leichte Abnahme der Amplituden durch Dämpfung ist erkennbar: ganz konstant ist der Radius und damit die Energie bei dieser Schwingung nicht.

Für viele Anwendungen braucht man gar nicht mit dem Sinus oder Cosinus umgehen, nämlich immer dann, wenn man es auf die Maximalwerte ankommt.

Die Amplitude sei A = 0,1 m. Welche Maximalgeschwindigkeit ergibt sich?

Die Maximalgeschwindigkeit wird beim Durchgang durch die Ruhelage erreicht, wo die Spannenergie verschwindet. Die anfängliche Spannenergie wird also bis zum Durchgang durch die Ruhelage ganz in kinetische Energie umgewandelt.

Also nach dem Dreierschema:

I Gesamtenergie am Anfang:    D/2·A2 II Gesamtenergie am Ende:      m/2·vmax2 III EES:                D/2·A2 = m/2·vmax2

damit: v_max² = D/m·A² = 100 N/(m·kg)·0,01 m² = 1 m²/s², also v_max = 1,0 m/s. Die 2. Lösung der quadratischen Gleichung gehört zur Minimalgeschwindigkeit v_min = - 1,0 m/s.

Also nach dem Dreierschema:

I Gesamtenergie am Anfang:    D/2·A2 II Gesamtenergie am Ende:      m/2·v2  +  D/2·x2 III EES:                D/2·A2 =  m/2·v2  +  D/2·x2

Also x² = ( D/2·A² - m/2·v² )·2/D = A² - m/D·v² = 0,01 m² - 0,1/10·0,25 m² = 0,01 m² - 0,0025 m² = 0,0075 m². Die halbe Maximalgeschwindigkeit wird also beim Ort x = 0,087 m erreicht, noch recht nahe am Umkehrpunkt (0,1 m).

Begründung, dass das Gewicht der Pendelmasse nicht berücksichtigt werden muss, wenn der Koordinatenursprung in die verschobene Ruhelage verlegt wird: Dir ist bekannt, dass die Energie den gesamten Ablauf einer Bewegung bestimmt, und dass eine potenzielle Energie eindeutig ist bis auf eine beliebige additive Konstante ("Vergleichsniveau" bei der Lageenergie), die keinen Einfluss auf die Bewegung hat. Unter dem Einfluss des Gewichts G = m·g der Pendelmasse verschiebt sich die Ruhelage um x0 = G/D = m·g/D Bei einer Auslenkung x, ausgehend von der verschobenen Ruhelage, hat die Pendelmasse also die potenzielle Energie Epot = + 1/2·D·(x0 - x)2 + m·g·x = 1/2·D·x02 - D·x·x0 + 1/2·D·x2 + m·g·x = 1/2·D·x02 + 1/2·D·x2. Auf eine additive Konstante wie 1/2·D·x02 kommt es bei einer potenziellen Energie nie an (verschobener Nullpunkt der potenziellen Energie). Also ergibt sich die gleiche Bewegung wie bei einer potenziellen Energie Epot = 1/2·D·x2, gemessen von der verschobenen Ruhelage aus, so als wäre überhaupt keine Verschiebung zu berücksichtigen.

7. gedämpfte Schwingung:

Abb. 15: Statt der Feder wird hier ein Packgummi verwendet. Interne Vorgänge im Material des Gummis entziehen der Schwingung mechanische Energie und wandeln sie in Wärme und innere Energie um: abgesehen davon nimmt die Gesamtenergie des Pendels ab; die Amplitude wird immer kleiner. Eine gedämpfte Schwingung ist strenggenommen keine harmonische Schwingung.

Abb.  16: Bei der gedämpften Schwingung entsteht als Phasendiagramm (x-v-Diagramm) eine "nach innen laufende" Spirale mit abnehmendem "Radius". Nach langer Zeit wird die Pendelmasse in der Ruhelage zum Stillstand kommen (x = 0 und v = 0).

Hinweis: Mit einem hochgestellten Punkt bezeichnet man die Ableitung nach der Zeit. Im Mathematikunterricht hast du vielleicht ganz ähnlich die Ableitung nach der Koordinate x kennen gelernt und sie mit einem hochgestellten Strich gekennzeichnet. Bei der zweiten Ableitung verwendet man zwei hochgestellte Punkte bzw. Striche.

Anhang:

Durch Einsetzen von x(t) = A·sin(ω·t) + B·cos(ω·t) und x·· (t) kannst du leicht nachprüfen, dass der allgemeine Ansatz mit den zwei Konstanten A und B die DGL der Schwingung erfüllt. Für die spezielle Schwingungsform entsprechend Abb. 2 lauten die zwei Anfangsbedingungen x(0) = 0 , v(0) = v_{max .}

Also mit v(t) = ω·A·cos(ω·t) - ω·B·sin(ω·t)

(1) x(0) = 0 = A sin(0) + Bcos(0) = B

(2) v(0) = v_max =  ω·A·cos(0) - ω·B·sin(0) = ω·A , also A = v_max/ω. Damit erhältst du

x(t) = v_max/ω ·sin(ω·t)

Du kannst dich leicht davon überzeugen, dass die Anfangsbedingungen entsprechend Abb. 2 erfüllt sind.

Ähnlich gehst du bei anderen Anfangsbedingungen vor.

.

.

.

( August 2016: Fehler korrigiert )