Würzburger Quantenphysik- Konzept

G23 Schrödinger-Gleichung

Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung Stationäre Zustände

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Das ist eine von Schrödinger gefundene partielle Differentialgleichung für die "Wellenfunktion" ψ ("Psi") von Systemen mit be-stimmter (und konstanter) Teilchenzahl, also für ein 1-Teilchen- oder auch ein 2-Teilchen- oder ein 3-Teilchen-, ... Problem. Eine Wellenfunktion hat nur die Aufgabe, Wahrscheinlichkeitsaussagen für zukünftige Messergebnisse zu machen. ψ ist komplexwertig.

Die Wellenfunktion für ein Zwei-Teilchen-Problem hat z.B. folgende Form:     ψ (x1,x2,t) .      x1 und x2 sind dabei nicht die Teilchenkoordinaten - die kann es ohne eine Messung ja nicht geben - , sondern Orte, an denen Wahrscheinlichkeiten berechnet oder Messungen durchgeführt werden sollen. In diesem Fall sind die Lösungen der Schrödinger-Gleichung also Wellen in einem abstrakten 6-dimensionalen Raum.

Die SG hat uninteressante unphysikalische Lösungen und eben die gesuchten physikalischen Lösungen. Weil die Lösungen der SG Wellenfunktionen sind, deren Betragsquadrat - im Falle einer 1-Teilchen-Schrödinger-Gleichung - ein Maß für die Wahrscheinlichkeit ist, ein Teilchen in einer Umgebung der Breite Δx eines Ortes x (im eindimensionalen Fall) zu finden, müssen physikalische Lösungen im ganzen Raum "quadratintegrabel" (was hier nicht erklärt werden soll) bzw. vereinfacht (und  nicht immer ganz richtig) - endlich sein. Löst man also eine Schrödinger-Gleichung, so muss man erst einmal alle unphysikalischen Lösungen wegwerfen, indem man sich auf die überall endlichen beschränkt. In der Regel sucht man dann - weiter einschränkend - unter den physikalischen (also endlichen) Lösungen speziell die so genannten "stationären Lösungen" bzw. "stationären Zustände" mit be-stimmter (konstanter) Energie E.

Die SG ist zuständig für nicht relativistische Teilchen. Sie kann nicht - wenn sie nicht als Operator-Gleichung für das nichtrelativistische Schrödinger-Feld formuliert ist - umgehen mit Zuständen un-be-stimmter Teilchenzahl. Für Photonen ist eine relativistische Gleichung zuständig, die der Wellengleichung für elektromagnetische Felder ähnelt. Sie muss für andere relativistische Teilchen, wie z.B. schnelle ß-Teilchen oder Neutrinos, so geändert werden, dass die jeweilige Masse und der jeweilige Spin berücksichtigt werden (vgl. Dirac-Gleichung).

In "stationären Zuständen" mit be-stimmter (konstanter) Energie E lässt sich von den Lösungen (Wellenfunktionen) ein komplexwertiger Faktor exp(i·E/h·t) abspalten (t Zeit, h Plancksches Wirkungsquant, i imaginäre Einheit), der die gesamte Zeitabhängigkeit des Zustands enthält. Der Restfaktor enthält dann die gesamte Ortsabhängigkeit. Er wird durch die häufig so genannte "zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung" beschrieben.

( aktualisiert 2012 )