Sucht man mit Hilfe der Schrödinger-Gleichung stationäre Zustände, also Zustände wohldefinierter, be-stimmter Energie E, dann müssen diese translationsinvariant bzgl. der Zeit sein (konstante Energie E!). In einem solchen Fall lässt sich ein komplexwertiger Exponential-Faktor abspalten, der die gesuchte Energie und die gesamte Zeitabhängigkeit enthält. Der restliche Faktor ist dann zeitunabhängig, komplexwertig oder reell und ist bestimmt durch die so genannte zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung. Sie ist nur für stationäre Zustände (mit konstanter Energie E) zuständig.

Für ein Teilchen im eindimensionalen Fall mit einer Potenzialfunktion V(x) lautet die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für seine Wellenfunktion Ψ(x) z.B. so:

                                       Ψ''(x) = K · ( E - V(x) ) · Ψ(x)  ,

wobei K =  - 2m/h² und Ψ''(x) die 2. partielle Ableitung von Ψ(x) nach der Ortskoordinate. h = h/2·π mit dem Planck'schen Wirkungsquant h.

V(x) ist dabei die Potenzialfunktion von gleicher Form wie im entsprechenden klassischen Problem. Da in stationären Zustanden (mit be-stimmter Gesamtenergie E) die potenzielle Energie eines Teilchens un-be-stimmt ist, kann V(x) nicht wie in der klassischen Physik die potenzielle Energie sein.

Alle anderen physikalischen Lösungen der Schrödinger-Gleichung lassen sich als Überlagerung solcher stationären Zustände (mit den jeweiligen zunächst weggelassenen Exponential-Faktoren) ausdrücken. Das heißt, wenn man die Gesamtheit der möglichen Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung kennt, also alle stationären Lösungen, muss man nur noch etwas Mathematik aufwenden, um alle physikalischen Lösungen der SG zu erhalten.

Einzige Aufgabe der Wellenfunktion ist es, Wahrscheinlichkeiten für den Ausgang von Messungen vorherzuberechnen. Im obigen eindimensionalen Beispiel ist also x nicht die Koordinate von "etwas" (einem Teilchen etwa), sondern nur die Koordinate des Ortes, an dem eine Messung bzw. eine Vorherberechnung einer Wahrscheinlichkeit vorgenommen werden soll.

Wellenfunktionen beschreiben - nach heutiger überwiegender Ansicht - nicht die Ausbreitung von "etwas" im Anschauungsraum (z.B. von Teilchen oder von Wellen); sie sind keine realistischen Wellen. Sie agieren in abstrakten, evtl. sogar vieldimensionalen Konfigurationsräumen, nicht im Anschauungsraum.

( aktualisiert 2012 )