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Der ARDUINO
als Messgerät für den Physik-Unterricht:

Gedämpfte Schwingung und Thomson-Formel

© H. Hübel Würzburg 2021

Gehversuche mit dem Arduino

Arduino und Selbstinduktion I

Arduino und Selbstinduktion II

Arduino und Ein-/Ausschalt-vorgänge bei der Spule


Physik für Schülerinnen und Schüler


Glossar




1. Ziel der Untersuchung einer gedämpften elektromagnetischen Schwingung im Schülerversuch

Die Schülerinnen und Schüler (Sch) sollen durch Energiezufuhr zu einem elektromagnetischen Schwingkreis eine gedämpfte elektromagnetische Schwingung anregen und die Messung mit dem ARDUINO registrieren. Hypothesen über die Abhängigkeit der Schwingungsfrequenz von Induktivität und Kapazität sollen durch Variation von L und C getestet werden. Dabei geht es allein um qualitative Abhängigkeiten und Vervielfachungen (z.B. je größer C, desto kleiner die Frequenz bzw. doppelte Kapazität führt nicht zu halbierter Frequenz). Nach einer (schulgemäßen) Lösung der Schwingungsgleichung mit Ableitung der Gesetzmäßigkeit für die Eigenfrequenz sollen die Sch die Thomson-Formel mit ihren Messergebnissen vergleichen. Ergebnisse sollen formuliert werden wie "erst vierfache Kapazität führt zu halbierter Frequenz".

Möglich ist, dass der Schwingkreis periodisch durch ein Rechtecks-Signal angeregt wird, oder dass aperiodisch über einen Schalter jeweils einmalig Energie einer Batterie zugeführt wird. Im ersten Fall wird der Schwingkreis über einen 100 nF-Kondensator an den Funktionsgenerator gekoppelt. Für den zweiten Fall wird in Abb. 1 ein Auflageblatt für das Leybold-Steckbrett zu Schülerversuchen vorgestellt. Da von Haus aus Mikroprozessoren nur mit nichtnegativen Spannungen umgehen können, braucht man für den ARDUINO einen Pegelwandler, der die Wechsel-Spannungen ganz in den nichtnegativen Bereich anhebt. Schülerversuche in gleicher Front bei geringen Kosten sind möglich, weil der billige ARDUINO schnell genug misst. Eigen-Frequenzen bis 500 Hz sind kein Problem.


2. Die Mess-Schaltung für den Schülerversuch


Abb. 1: DINA4-Auflageblatt für das Leybold-Rastersteckbrett zum sicheren Aufbau der Mess-Schaltung durch die Schüler im Schülerversuch. Die Sch stecken die Bauteile durch das aufgelegte Blatt hindurch. Die rot/grau gezeichneten "Inseln" (in sich leitend) werden untereinander durch Bauteile oder leitende Verbindungsstecker (Doppelstriche) verbunden.

Wenn eine Gefährdung der ARDUINO-Eingänge durch Überspannungen ausgeschlossen ist - wie das in der Regel der Fall ist, kann auf das Potentiometer verzichtet werden. Die Messeingänge des Pegelwandlers werden dann direkt mit der Primärseite der Spule, also mit A und B verbunden, oder - besser - mit den Enden der 2. Wicklung auf der Schülerversuchsspule.

Bei 1 μF und 0,1 H ist die Resonanzfrequenz ca. 500 Hz.

Eine Wicklung der SV-Spule hat L = 0,1 H. Für 0,2 H sind zwei gleichartige, getrennte Spulen in Reihe geschaltet (optional, andernfalls Ersatz der 2. Spule durch einen Doppelstecker). L = 0,4 H ergeben sich, wenn (gemäß des eingeblendeten Bilds) beide Wicklungen einer Spule vom identischen Fluss durchsetzt werden. Reihenschaltung zweier so beschalteter SV-Spulen ergibt L = 0,8 H. Durch Parallel- und Reihenschaltung von bis zu 4 gleichen Kondensatoren lässt sich die Schwingkreiskapazität variieren.

Die Anregung erfolgt aperiodisch mittels 1,5 V-Zelle, 100 Ω-Widerstand und Taster oder durch eine periodische Rechtecksspannung mit Kopplungskondensator 100 nF.


3. Messbeispiel


Abb. 2: Messkurve: Spannung an Kondensator bzw. Spule des Schwingkreises bei Erregung durch ein Rechteckssignal

Die ungefähren Daten sind C = 1 μF, L = 0,1 H. Es handelt sich um die Nennwerte von Induktivität und Kapazität. Die Frequenz-Abhängigkeit und weitere Einflüsse auf L sind nicht bekannt. Die Nennwerte sollten auf ca. 500 Hz Resonanzfrequenz führen. Tatsächlich ergibt sich aus genannten Gründen eine Resonanzfrequenz von ca. 435 Hz. Gemessen und dargestellt sind alle Schwingungen zwischen einer ansteigenden Flanke und einer abfallenden Flanke des erregenden Rechteckssignals (ca. 45 Hz). Viel mehr Perioden würde man sehen bei einer geringeren Erregerfrequenz. Wegen des geringen Innenwiderstands der Schülerversuchsspule von 1,5 Ω würde man eine noch geringere Dämpfung erwarten. Ummagnetisierungsvorgänge im Ferritkern und die Ankopplung an die äußere Beschaltung könnten weitere Dämpfungsmechanismen darstellen.

Ergebnis:

Verdoppelung der Kapazität C oder der Induktivität L führt nicht zur Halbierung der Frequenz, sondern jeweils erst Vervierfachung. Das könnte auf eine Wurzel-Beziehung hinweisen.


4. Vorgehensweise im Unterricht nach dem Konzept des "Forschenden Unterrichts"


(PL = Plenum; SV = Schülerversuch, möglichst "in gleicher Front"; HA = Hausaufgabe)

PL: Spule und Kondensator werden als Energiespeicher vorgestellt. PL: Ist es möglich, dass beide Speicher ihre Energie periodisch gegenseitig austauschen? Wie könnten dazu beide verbunden werden?

SV: Die Sch bauen einen Parallelschwingkreis auf und registrieren mit dem ARDUINO die gedämpfte Schwingung. Sie entscheiden und notieren, wie weit das Ziel einer periodischen Schwingung gelungen ist (wegen der Dämpfung nur näherungsweise). Sie diskutieren das Ergebnis hinsichtlich Energieumwandlung und Energieerhaltung.

PL: Die Sch diskutieren, wovon die Schwingungsfrequenz abhängen könnte und formulieren Hypothesen für das Verhalten bei Vervielfachung von L und C.

PL: Die Lehrerin oder der Lehrer regt an, die Schwingung mathematisch zu untersuchen und lenkt die Sch darauf hin, vom (Selbst-)Induktionsgesetz (Uind = - L·ΔI/Δt bzw. Uind = -L·dI/dt)  und dem Gesetz des Kondensators (U = Q/C) mit der verknüpfenden Beziehung I = ΔQ/Δt bzw. I = dQ/dt auszugehen. Gemeinsam wird die DGL der ungedämpften Schwingung entwickelt und mit dem Ansatz U = A·sin(ω·t) speziell gelöst. Die Lösung erfordert ω = 1/√(L·C). Die qualitativen Abhängigkeiten der Gesetzmäßigkeit werden diskutiert, ebenfalls bei Vervielfachung.

SV: Die Sch vergleichen die Ergebnisse mit ihren Hypothesen. Durch Vervielfachung von L und C testen sie, wie sich die Schwingungsfrequenz verändert.

PL: Die Sch berechnen gemeinsam eine Frequenz f = ω/2π bzw. die Schwingungsdauer T für ihren bestimmten Satz von L und C und vergleichen mit ihren Messwerten.

HA: Vorschlag für ein Paar von L und C, so dass f = 10 kHz


5. Technische Details

5.a ARDUINO-Hardware

Abb. 3: Anschlüsse des Arduino Nano (Draufsicht Vorderseite)

Eine nichtnegative Messspannung wird über die Pins GND und z.B. A0 (rot) angelegt.

(Pin 27 und Pin 4 könnten zur Spannungsversorgung externer Schaltungen dienen, z.B. eines Pegelwandlers, oder zur Zuführung einer externen Spannung (IN). Zwischen Pin 18 und Pin 4 kann die Referenzspannung für die AD-Wandler gemessen oder auch von außen zugeführt werden.)

Die entstehenden Wechselspannung erfordern einen Pegelwandler, dessen Ausgangsspannung z.B. an A0 gelegt wird.


Abb. 4: Das "under-shield", aufgebaut auf einer Lochraster-Platine, wenn zusätzlich zu den Gleichspannungskanälen  Pegelwandler für 2 Kanäle bereitgehalten werden sollen. in1 und in3 sind die Gleichspannungseingänge, in0 und in2 die Wechselspannungseingänge.

Der ARDUINO wird in den grau gezeichneten Sockel gesteckt, der 2-kanalige Operationsverstärker TLC 272 in den achtpolige Sockel. Er ist Hauptbestandteil des Pegelwandlers. Leiterbahn-Unterbrechungen sind grün markiert. Die Betriebsspannung wird über den ARDUINO aus dem USB-Port bezogen. Mit dem Steckerpaar rechts oben kann sie weiterverwendet werden.In der Abb. links erkennen Sie die Beschaltung des TLC zum 2-kanaligen Pegelwandler (in0 und in2).

Das Ergebnis ist ein schnelles Messprogramm mit ca. 9000 Messungen pro s.

Abb. 5: Messtest mit Rechtecksspannung von 1000 Hz: noch brauchbare zeitliche Auflösung

Die schrägen Flanken entstehen dadurch, dass die gezeichneten Messpunkte im minimalen Zeitabstand von 0,11 ms miteinander verbunden werden (pro Periode typischerweise ca. 9 Messungen). Schneller geht es wohl nicht bei der vom ARDUINO vorgegebenen Taktfrequenz.

Das Programm ist z.B. geeignet zur Registrierung von gedämpften Schwingungen von einigen 100 Hz.


5.b Das ARDUINO-Programm ("Sketch")

Untersuchung einer aperiodisch angeregten gedämpften elektromagnetischen Schwingung

Wenn man mit der zweiten Wicklung der SV-Spule die Induktionsspannung misst (von gleicher Größe wie der Wechselspannungsanteil der Schwingkreisspannung) hat man eine einfache Triggermöglichkeit, die sich besonders bewährt, wenn die Schwingung durch einen mechanischen Schalter anregt wird.

Der Vorgang beginnt nach einem Tastendruck beim PC.

Wenn Start der Registrierung beim Verlassen der Nullspannung gewünscht wird:  a) Schleife solange, bis Induktionsspannung = 0, b) Schleife, während die Induktionsspannung = 0. Die Mess-Schleife startet dann mit dem Einsetzen der Schwingung.

Bei Start bei Verlassen des Spannungsmaximums: a) Schleife ohne Registrierung solange Induktionsspannung Uind < Umax - Δ (Δ > 0, Δ klein). b) Schleife ohne Registrierung solange Induktionsspannung Umax - Δ >= Uind  < = Umax . Die Mess-Schleife startet dann mit dem Absinken der Induktionsspannung unter den Maximalwert Umax. Dieser muss zuvor ermittelt werden.

Der Vorgang beginnt jeweils nach einem Tastendruck beim PC.

Das Programm ist geeignet für aperiodische Messungen, z.B. bei der Anregung eines Schwingkreises durch Tastendruck, hier getriggert für Start aus 0. Das vollständige Listing finden Sie unter "prog3a 2k" (sogar optional für 2-kanalige Messung von Schwingkreisspannung und Erregerspannung, leicht modifizierbar zu prog3a_1k).

Liest Daten mit Werten im Bereich von 0 bis 1023 vom ANALOG INPUT Kanal A0 (oder optional zusätzlich A2) ein, mit oder ohne Pegelanhebung für Wechselspannung, und speichert sie schnell im SRAM des Prozessors ab.

Die Daten werden als Paket von 300 Werten auf 5000 mV (bzw. an die an PIN18 des ARDUINO
liegende Vergleichsspannung) skaliert und dann seriell an den Serial Monitor ausgegeben.

Die Mess-Schaltung enthält eine 1,5 V Monozelle, einen mechanischen Taster, eine Spule (typ. L =  0,1 H), einen Widerstand R1 (typ. 100 Ohm) bzw. einen Kondensator mit C1 = μF zur Begrenzung des Erregerstroms. Bei Verwendung der Schülerversuchsspule wird die Schwingkreisspannung (in der Regel) mittels der 2. Wicklung gemessen.

Auch periodische Anregung durch die Rechtecksspannung eines Funktionsgenerators über einen Koppelkondensator ist möglich. Das Listing finden Sie hier (ausgeführt für einkanalige Messung der Schwingkreisspannung): "prog3p_1k".

Messvorgang

Die Datensätze werden vom PC-Bildschirm des Arduino eigenen "Serial Monitors"  kopiert und in ein Tabellenkalkulationsprogramm (TBK) übertragen. Das Arduino-Programm trennt die Ausgabewerte für einen Messwert durch Kommas. Das wird vom TBK-Programm beim Einfügen der Daten erfragt. Die Messwerte werden in Abhängigkeit von der Zeit in einem t-x-Diagramm dargestellt. Die Anlage des Diagramms ist vorbereitet (ODS- oder XLS-Format) und wird nach Übertragung der Messdaten automatisch ausgefüllt.


6. Weitere Informationen:


Das Buch

Physikalische Schülerversuche mit PC und Mikroprozessor - Wege zum forschenden Lernen,

2. deutlich erweiterte Auflage,

ist im Buchhandel erhältlich.

Viele der dort beschriebenen Versuche für den Prozessor ATMEGA32 lassen sich auch mit dem Arduino Nano durchführen, da dieser mit einem ähnlichen Prozessor ausgestattet ist. Allerdings wird dort als Programmiersprache AVISE-Forth verwendet. Die Software muss neu geschrieben werden, was aber relativ leicht möglich ist.

Das Buch beschreibt viele weitere physikalische Versuche, Unterrichts-Konzepte und nützliche Details zu ergänzenden Hardware-Komponenten, z.B. zum Pegelwandler und Schutzdioden.


Die Resonanzfrequenz eines elektromagnetischen Schwingkreises mit einem Dämpfungswiderstand R der Spule ist:
ω = √[ω02 - (R/2L)2], wobei ω0 = √1/(L·C). Bei L = 0,1 H, C = 1 μF und R = 1,5 Ω ergibt sich ω0 = 3,16·103 s-1,  (R/2L) = 7,5 s-1, also quasi unverändert ω = 3,16·103 s-1. Die beobachtete Dämpfung dieses Schwingkreises kann also nicht durch den Innenwiderstand der Spule erfolgen.

(Juni / Dezember 2021)