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Elektromagnetische Induktion

Überprüft, ergänzt, aber immer noch unvollständig

1. Historisches

Oersted hat Anfang des 19. Jahrhunderts gefunden: "Elektrizität macht Magnetismus" (Ein elektrischer Strom umgibt sich mit einem ringförmig geschlossenen Magnetfeld). Michael Faraday spekulierte wenige Jahrzehnte später: Könnte auch gelten "Magnetismus macht Elektrizität"? Das sieht nach einer Umkehrung aus.

2. Im Schülerversuch entdeckst du die Induktion

Auf eine Spule mit 12 000 Windungen ist eine Zweifarben-Leuchtdiode aufgesetzt. Je nach Stromrichtung leuchtet sie rot oder grün. Versuche, sie mit dem Magneten zum Leuchten zu bringen. Im Foto leuchtet sie grün; sie kann aber bei diesem Vorgang auch rot leuchten!? Lässt sich eine Regel ableiten, wann die Leuchtdiode überhaupt leuchtet? Wann sie in der einen oder der anderen Farbe leuchtet? Wann sie besonders hell leuchtet? Wenn die Leuchtdiode Energie in Form von Licht abgibt, muss diese von irgendwo her kommen. Hast du eine Idee, wer dann Arbeit verrichtet, Energie hineinsteckt?

In einer Variante ist hier ein kleiner Strommesser auf die Spule mit 300 Windungen aufgesetzt. Wie oben wird gefragt: Lässt sich eine Regel ableiten, wann das Messgerät überhaupt ausschlägt? Wann es nach rechts oder nach links ausschlägt? Wann es besonders stark ausschlägt?

Ganz so einfach, wie sich Faraday das ursprünglich vorgestellt hatte, sind die Verhältnisse hier wohl nicht: Mit Magnetismus lässt sich tatsächlich Elektrizität erzeugen, aber wann nur? Ein Magnet kann noch so stark sein; wenn er nur im Inneren der Spule ruht, kommt es nicht zur Induktion!

3. Wann entsteht Induktion?  

In der "Bildergeschichte" links sind verschiedene Versuche bildlich dargestellt, bei denen Induktion entsteht. Die Situationen sind z.T. völlig unterschiedlich; dennoch haben sie etwas Wesentliches gemeinsam. Führe die Versuche durch oder vergleiche mit dem Experiment, das der Lehrer durchführt. Das Wesentliche für die Entstehung der Induktion ist in allen Fällen angedeutet. Versuche, es zu erkennen. Formuliere dann in dein Heft zu jedem der Versuche zwei Sätze nach dem Schema: 1. Induktion entsteht in Situation xy  [(1), oder (2), ... ], weil .... 2. Das geschieht dadurch, dass ... Im 2. Satz geht es konkret darum, was hier gemacht wurde. Der 1. Satz dagegen sollte das allen Versuchen Gemeinsame enthalten. Einige Textbausteine könnten sein: ändert sich Magnetfeld das die Windungsfläche senkrecht durchsetzt Windungsfläche homogenes / inhomogenes ... Die Feldspule heißt so, weil durch sie bei Stromfluss ein Magnetfeld erzeugt wird. Die Induktionsspule heißt so, weil bei ihr bei Funktionieren des Versuchs Induktion mit einem Messinstrument (Strom- oder Spannungsmesser) nachgewiesen werden kann. Beispiel: 1. Induktion entsteht in Situation (1), weil sich in der Spule das Magnetfeld ändert, das die Spule senkrecht durchsetzt. 2. Das geschieht dadurch, dass der Permanentmagnet der Spule angenähert oder von ihr entfernt wird. (Das Magnetfeld, das er in der Spule erzeugt, wird größer bzw. kleiner.) Gehe bei deinen Formulierungen immer von der Induktionsspule aus. Setze dich sozusagen in sie hinein und betrachte, was mit dem Magnetfeld in ihrem Inneren (von diesem Standpunkt aus) geschieht.

Die Situation (7) unterscheidet sich von den Situationen (1) - (6). In der Situation (7) stellst du fest: Induktion findet auch statt, wenn sich die "Menge an Magnetfeld" ändert, die die Windungsfläche senkrecht durchsetzt, indem die Windungsfläche vergrößert oder verkleinert wird.

Kompakt kann man alle Situationen beschreiben, wenn man den Begriff des "magnetischen Flusses" einführt. Der magnetische Fluss enthält Informationen über die Stärke des Magnetfelds (B), das die Windungsfläche senkrecht durchsetzt, und die Windungsfläche A selbst.

Später wirst du erfahren: Wenn B der Anteil des Magnetfelds ist, der die Windungsfläche A senkrecht durchsetzt, gilt Φ = B·A .

Zusammenfassend kann man also alle 7 Situationen beschreiben:

Induktion findet in einer Spule oder geschlossenen Leiterschleife statt, wenn sich in ihr der "magnetische Fluss" ändert. Das könnte geschehen, wenn sich die Stärke des Magnetfelds B  ändert, das die Windungsfläche senkrecht durchsetzt, oder  die "Menge an Magnetfeld", die von der Windungsfläche umfasst wird, also z.B. die Größe der Windungsfläche  A selbst.

Du siehst: Die Idee von der "Umkehrung", von der anfangs die Rede war, war sehr erfolgreich, indem sie zur Entdeckung der Induktion führte. Aber um eine echte Umkehrung handelt es sich nicht: Es musste die zeitliche Änderung ins Spiel gebracht werden.

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4. Was entsteht bei der Induktion?

Zur Anzeige wurde eine Leuchtdiode, ein Strommesser oder ein Spannungsmesser verwendet. Auch ein empfindliches Glühlämpchen hätte manchmal verwendet werden können. Offenbar fließt bei den Versuchen immer ein Strom. Ist das aber die direkte (primäre) Wirkung der Induktion? Klar ist, wenn ein Strom entsteht, könnte er eine Ursache haben, die so etwas wie eine Spannung sein könnte. Umgekehrt, wenn primär eine Induktionsspannung entsteht, hat sie in einem geschlossenen Stromkreis sicher sekundär einen Strom zur Folge. Wir fragen hier also, was als Erstes da war, so etwas wie eine Spannung oder ein Strom?

Versuche:

V1: Primärspule mit Eisenkern, Sekundärspule. Durch die Primärspule fließt ein langsam linear anwachsender oder abfallender Strom. In der gleichen Weise verändert sich auch das Magnetfeld in der Primärspule. Die Sekundärspule wird nacheinander durch unterschiedliche Widerstände zu einem Stromkreis geschlossen, der einen Strommesser enthält.

E: Trotz jeweils gleicher Ursache der Induktion (der zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses) entstehen unterschiedliche Stromstärken, je nach Widerstand im Stromkreis.

V2: Über den Eisenkern der Primärspule wird eine Sekundärspule aus einer Windung gestülpt. Sie enthält einen empfindlichen Spannungsmesser. Das Magnetfeld in der Primärspule und im Eisenkern ändert sich wie oben. E1: Ganz gleich, wie die Windung um den sich ändernden magnetischen Fluss gelegt wird (wenn nur die Windungsfläche senkrecht dazu bleibt), es wird die gleiche Spannung angezeigt. E2: Es gibt nirgendwo einen Plus- und einen Minuspol (wohl aber eine zeitabschnittsweise eindeutige Richtung des Ringstroms).

V3: Verschärfung durch elektrodenlose Ringentladung: Eine mit Neongas gefüllte Kugel wird von einer Spule aus wenigen Windungen umgeben. Sie ist Teil eines elektromagnetischen Schwingkreises, mit dem ein Wechselstrom (und damit ein magnetisches Wechselfeld) sehr hoher Frequenz erzeugt wird. Im Inneren der Neonkugel beginnt das Gas zu leuchten, und zwar in einem Ring senkrecht zur Windungsfläche der Spule. Es entsteht ein Ringstrom ohne Anfang und Ende. (Er ist die Folge eines starken elektrischen Felds, das die magnetischen Feldlinien ringförmig senkrecht umfasst. Das starke elektrische Feld macht das Neongas leitfähig.) E3: Es entsteht primär so etwas wie eine Spannung, aber keine gewöhnliche Spannung (keine Potenzialdifferenz): Von keinem Punkt längs der ringförmigen Induktionsschleife in V2 kann behauptet werden, dass er das höchste oder niedrigste Potenzial im Vergleich zu seinen Nachbarn hätte: Es gibt bei der Induktion kein Potenzial und keine Potenzialdifferenz.

V4: Hätte man im Versuch V2 für äußerlich gleiche Leiterschleifen Materialien mit unterschiedlichen Widerständen verwendet, hätte sich mit einem eingebauten hochohmigen Spannungsmesser immer die gleiche Induktionsspannung ergeben, mit einem eingebauten Strommesser je nach Leiterwiderstand unterschiedliche Stromstärken.

E4. Primär entsteht eine Induktionsspannung, die sekundär einen Induktionsstrom zur Folge hat, der ohne Anfang und Ende im Kreis herum fließt (Ringstrom ohne Plus- und Minuspol), und dessen Größe von der Induktionsspannung und vom Leiterwiderstand abhängt.

Die Induktionsspannung ist ein Spezialfall einer "Ringspannung". Manchmal wird sie auch "Umlaufspannung" genannt.

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5. Was ist eine Ringspannung?

Im allgemeinen hat die Leiterschleife einen Widerstand, vielleicht einen sehr kleinen. Um durch ihn den Ringstrom hindurchzupumpen wird Arbeit benötigt, auch dann, wenn der Strom vom Punkt A durch den Leiterkreis (um den sich ändernden magnetischen Fluss herum) wieder zum Punkt A hindurchgepumpt wird. Das ist offenbar ganz anders als bei einem Potenzialfeld wie in einem Plattenkondensator. Bei einem geschlossenen Weg von einem Punkt A zum Punkt A zurück muss dort auf Teilwegen Arbeit verrichtet werden, die auf anderen Teilwegen wieder gewonnen wird, so dass insgesamt  bei einem vollen Umlauf keine Arbeit verrichtet wird. Bei der Induktion dagegen wird bei jedem vollen Umlauf Arbeit verrichtet.

In einem Potenzialfeld wird zwischen zwei Punkten A und B eine Spannung U_AB definiert durch U_AB = W_AB/Q, wenn W_AB die Arbeit ist, die zum Transport der Ladung Q von A nach B aufgewendet werden muss.

Ganz entsprechend wird die Ringspannung U_O definiert, die bei der Induktion entsteht:   U_O = W/Q. Dabei ist W die Arbeit, die beim Transport der Ladung Q auf einem geschlossenen Weg aufgewendet werden muss. (Das Symbol _O  soll dabei die Ringspannung längs des geschlossenen Wegs andeuten.). Weil die Ringspannung gleichartig definiert ist wie die gewöhnliche Spannung (Potenzialdifferenz) hat sie auch die gleiche Einheit: 1 V. (Um das Vorzeichen von U_O wollen wir uns hier nicht kümmern.)

Bei der Induktion entsteht in allen Fällen längs einer ringförmig geschlossenen Induktionsspule oder Leiterschleife eine Ringspannung UO und in der Regel keine gewöhnliche Spannung. Die Folge dieser Ringspannung ist ein Ringstrom.

Bei einer Induktionsspule aus n Windungen muss pro Windung eine bestimmte Arbeit bzw. Ringspannung aufgewendet werden. Die gesamte Ringspannung U_AA ist also das n-fache dieser Ringspannung pro Windung. Die einzelnen Windungen sind sozusagen hintereinander geschaltet.

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6. Änderungen des magnetischen Flusses, auch wenn man sie nicht erwartet

Betrachte einen Hufeisenmagneten, dessen einer Schenkel durch einen rechteckigen gut leitenden Ring gesteckt wird. Der Ring ist irgendwie fest mit dem Labortisch verbunden.Wird bei ortsfestem Ring der Magnet hin und her bewegt, also längs des Schenkels in Pfeilrichtung, entsteht eine Induktionsspannung. In der Schemazeichnung wird diese durch ein Lämpchen nachgewiesen, im Realversuch ersetzt man das Lämpchen durch einen empfindlichen Spannungsmesser.

Ganz entsprechend beim Leiterschaukel-Versuch

Nach unseren bisherigen Erfahrungen müsste doch auch hier eine Änderung des magnetischen Flusses stattfinden. Aber was hältst du von folgender Argumentation:

a) In brauchbarer Näherung kann man sich vorstellen, dass das Magnetfeld allein auf den Bereich zwischen den Schenkeln beschränkt ist. Dort wird üblicherweise ein homogenes Magnetfeld angenommen. Es hat also überall zwischen den Schenkeln gleichen Betrag und gleiche Richtung. Drei Seiten des Rings befinden sich dann außerhalb des Magnetfelds, die vierte Seite im homogenen Feldbereich. Diese Seite "verspürt" immer das gleiche Magnetfeld. Von einer Bewegung des Magneten "bemerkt" sie allein auf Grund des Magnetfelds gar nichts.

b) Wo sollte hier eine Änderung des magnetischen Flusses stattfinden? Drei Seiten befinden sich außerhalb des Magnetfelds; dort gibt es nie ein Magnetfeld. Die vierte befindet sich im homogenen Feldbereich; dort verändert sich das Magnetfeld nie. Ohne Änderung des magnetischen Flusses innerhalb der Induktionsschleife keine Induktion!?

Zur Lösung: Du hast sicher nicht übersehen, dass auch in den Schenkeln des Hufeisenmagneten ein magnetisches Feld vorhanden ist:

Bewegt sich der Hufeisenmagnet hin und her, durchstoßen Feldlinien im Schenkel die Windungsfläche, einmal viele, einmal wenige, je nach der momentanen Position des Magneten im Vergleich zum Ring. Ganz klar: Vom ruhenden Ring aus beurteilt ändert sich in seiner Windungsfläche der magnetische Fluss, wenn sich der Hufeisenmagnet bewegt, und zwar im Inneren des Rings, dort wo die Feldlinien im Inneren des Schenkels die Windungsfläche durchstoßen.

Auch in diesem Fall findet Induktion statt, weil sich der magnetische Fluss, der die Windungsfläche senkrecht durchsetzt, ändert.

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7. Das allgemeine Induktionsgesetz mit dem Dreiecks-Generator erarbeitet

Ein Dreiecks-Generator ist ein Gerät, das abwechselnd einen linear wachsenden und dann wieder linear fallenden Strom bzw. eine entsprechende Spannung erzeugt. Die Frequenz des Dreiecks-Signals lässt sich einstellen, u.U. bis zu Frequenzen von 0,1 Hz herab. Nach 10 s wiederholt sich in diesem Fall jeweils der dreiecksförmige Stromverlauf.

Mit dem orangefarbenen Funktionsgenerator wird ein linear veränderlicher Strom geringer Frequenz durch die Feldspule (rechts, 600 Windungen) erzeugt. Die Spannung an der Induktionsspule (links, 12 000 Windungen) wird mit einem Messinterface (schwarz) gemessen. Der PC stellt den magnetischen Fluss (linear veränderlich) und die Induktionsspannung dar. Wenn der magnetische Fluss linear wächst oder fällt, ist die Induktionsspannung konstant. Das Minuszeichen im Induktionsgesetz kann hier nicht erkannt werden. (Messung und Anzeige mit dem PC-Programm URI) Magnetische Wechselfelder von Transformatoren im Raum (z.B. im Netzteil des PCs) und Rundfunksendern führen ebenfalls zu Induktionsspannungen. Sie werden mit dem parallelgeschalteten blauen Kondensator (Steckerbauteil unten) weitgehend kurzgeschlossen.

Versuchsergebnis: Der Strom durch die Feldspule (und damit der magnetische Fluss) wächst linear und fällt periodisch. Die zweite Anzeige entspricht der Induktionsspannung der Induktionsspule. Was fällt dir auf? (Messung mit dem PC-Programm URI und einem Messinterface)

Versuche zeigen:

Wie oben. Der PC stellt magnetischen Fluss (dreiecksförmig) und Induktionsspannung (abschnittsweise konstant) graphisch dar. Wenn der magnetische Fluss linear wächst, ist die Induktionsspannung konstant. Das Minuszeichen im Induktionsgesetz kann hier nicht erkannt werden. (auch hier: Messung und Anzeige mit dem PC-Programm URI und einem Messinterface im schwarzen Gehäuse)	Gleiche Situation wie links. Nur die Frequenz bzw. die Änderungsgeschwindigkeit des magnetischen Flusses ΔΦ/Δt wurde verdoppelt. Welche Folge hatte das für die Induktionsspannung, die wieder abschnittsweise weitgehend konstant ist ?

Hier einige Fotos mit z.T. sehr alten konventionellen Geräten:

Untersuchung der Zeitabhängigkeit der Induktionsspannung: Links der Dreiecksstrom-Generator, dessen Ausgangsstrom durch das große Messinstrument angezeigt wird, die Feldspule (300 - 1200 Windungen), dann die Induktionsspule (12000 Windungen), rechts der Messverstärker mit relativ trägheitsarm arbeitendem mechanischem Anzeigeinstrument. Variiert man die Windungszahl n der Induktionsspule (im Bild links von der Feldspule), so findet man: Die (abschnittsweise konstante) Induktionsspannung ist auch proportional zur Windungszahl n. Das hatten wir uns aber auch schon theoretisch überlegt, weil bei größerem n mehr Windungen hintereinander geschaltet sind.

Auch die Abhängigkeit der Induktionsspannung von der Windungsfläche A der Induktionsspule kann mit dem dreiecksförmigen Magnetfeld untersucht werden. Man muss allerdings dafür sorgen, dass das Magnetfeld über die gesamte Windungsfläche (räumlich) konstant ist. Hier wird das über einen großen Flächenbereich homogene Magnetfeld durch das Helmholtz-Spulenpaar von der e/m-Bestimmung erzeugt. In der Symmetrieebene zwischen beiden Ringspulen ist dort ein homogenes Magnetfeld garantiert. Auf dem Ständer in der Mittelebene sind mehrere Induktionsspulen (300 Windungen) unterschiedlicher Windungsflächen A angebracht. An ihrem Ausgang ist der Messverstärker oder ein Messinterface angeschlossen. Der Versuch zeigt: Die (abschnittsweise konstante) Induktionsspannung ist auch proportional zur Windungsfläche A. Das gilt dann, wenn A die vom Magnetfeld senkrecht durchsetzte Windungsfläche ist. Würde man die Induktionsspule schräg ins Magnetfeld stellen, wäre die vom Magnetfeld senkrecht durchsetzte Fläche kleiner, und damit auch die Induktionsspannung. Die Helmholtz-Spulen oder andere (entsprechend Abb. 1a) können bei der Untersuchung der Abhängigkeit von der Windungszahl auch als Feldspulen verwendet werden, wenn in das Magnetfeld beliebige Induktionsspulen gleicher Querschnittsflächen mit unterschiedlichen Windungszahlen gelegt werden.

Wir fanden also bisher  U_O prop. n · ΔB/Δt · A . Jemand kam einmal auf die Idee aus B und A eine neue Größe zu definieren, den "magnetischen Fluss" Φ = B · A. A ist dabei immer der Anteil der Windungsfläche senkrecht zu B (bzw. B die Komponente des Magnetfelds B senkrecht zur gesamten Windungsfläche. Damit heißt dann das Induktionsgesetz in der bisherigen Form: U_O prop. n · ΔΦ/Δt .

Δ Φ/Δt ist die "Änderungsrate" des magnetischen Flusses. Sie gibt an, wie schnell sich der magnetische Fluss Φ pro Zeiteinheit Δt ändert. Je schneller sich der magnetische Fluss ändert, der die Induktionsspule senkrecht durchsetzt, desto größer ist der Betrag der Induktionsspannung. Deswegen wird ΔΦ/Δt auch "Änderungsgeschwindigkeit" des magnetischen Flusses genannt.

Bei der Formulierung der gewöhnlichen Geschwindigkeit v hast du vielleicht kennengelernt, dass bei beliebigen Ortsänderungen (gleichförmig oder nicht) der Bruch Δx/Δt durch die zeitliche Ableitung v = x^· bzw. v = dx/dt ersetzt werden sollte. Wenn du die Ableitung noch nicht kennst, genügt es vorläufig, diese Ausdrücke als Abkürzung für Δx/Δt anzusehen.

(x^· wird gelesen als "x punkt", ähnlich wie im Mathematikunterricht f '(x) für die Ableitung nach x steht).

Genauso kannst du bei der Änderungsgeschwindigkeit des magnetischen Flusses vorgehen: ΔΦ/Δt wird ersetzt bzw. abgekürzt durch Φ^· bzw. dΦ/dt. Vollständig formuliert heißt das Induktionsgesetz:

Das Induktionsgesetz gilt ganz allgemein. Es ist keine Form der Induktion bekannt, die sich nicht auf eine Änderung des magnetischen Flusses zurückführen lässt. Ein überraschendes Beispiel wurde ja schon früher diskutiert.

Ein Beispiel: in 1 s ändere sich die magnetische Flussdichte B um 1 V· s/m². Die Windungsfläche, die vom Magnetfeld senkrecht durchsetzt wird, sei 10 cm² = 0,01 m². Die Windungszahl n sei 100. Dann gilt also U_O = - n · ΔΦ/Δt = - 100 · 1 V· s/m² · 0,01 m² / 1 s = 1 V. Die Änderungsgeschwindigkeit des Magnetfelds war dabei ΔB/Δt = 1 V· s/m² / 1 s = 1 V/m² .

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Hinweis: Zunächst folgt aus dem Experiment U_O prop. ΔΦ/Δt  (der Änderungsgeschwindigkeit des magnetischen Flusses) und  U_O  prop. n (der Windungszahl) , zusammengefasst also U_O prop.  n · ΔΦ/Δt. Zwei Dinge sind dann zu klären: Warum hat die Proportionalitätskonstante den Betrag 1? Zweitens, warum enthält das Induktionsgesetz ein negatives Vorzeichen?

Punkt 1) wird später bewiesen.

Zu 2): Das Vorzeichen ist in vielen Fällen nicht wichtig.  (Wenn außer der  Induktionsspannnung keine weitere Spannung vorliegt, könntest du das Vorzeichen der Spannungsanzeige leicht ändern, indem du die beiden Anschlüsse des Spannungsmessers vertauschst.)  Es ist aber auch sehr schwierig zu entscheiden , weil es eine sorgfältige Definition des magnetischen Flusses voraussetzt und nur im Vergleich zu einer anderen Spannung bedeutsam wird. Manche Schulbücher machen es sich dabei etwas zu leicht. Im Augenblick solltest du das negative Vorzeichen einfach glauben. Es bewährt sich  z.B. im Kapitel Selbstinduktion. Dort gibt es nämlich eine Situation, wo ein ansteigender Strom durch eine Spule durch die Induktionsspannung zunächst unterdrückt wird. Sie muss also umgekehrtes Vorzeichen haben wie die Batteriespannung, die den Strom fließen lässt. Wenn der magnetische Fluss anwächst ( Δ Φ/Δt  > 0 ), ist die entstehende Induktionsspannung negativ.

Du hättest das Induktionsgesetz auch so formulieren können: Gemessen werden soll die Spannung UAA von einem Punkt A zum Punkt A (!). Vielleicht kommt dir die Frage eigenartig vor. Aber: Wenn der Weg von A nach A einen sich zeitlich ändernden magnetischen Fluss Φ einschließt (grün), ist diese Spannung in der Regel von 0 verschieden und heißt Induktionsspannung. Sie ist eine Ringspannung. Wenn der Weg von A nach A einen konstanten oder gar keinen magnetischen Fluss Φ einschließt (rot),  gibt gibt es keine Induktion, ist die Induktionsspannung 0.

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Damit hängt eine überraschende Folgerung zusammen: Die Induktionsspannung "längs der geschlossenen Linie" von A nach A hängt von der Änderung des gesamten eingeschlossenen magnetischen Flusses ab. Das gilt offenbar sogar dann, wenn an den Orten der geschlossenen Linie überhaupt kein Magnetfeld herrscht! Ein Anzeichen für die so genannte "Nichtlokalität der Induktion". Im Internet findet man viele überflüssige Diskussionen von Leuten, denen das nicht bewusst ist.

Mit einem Experiment kann das einigermaßen schlüssig gezeigt werden: In einer Feldspule steckt ein Eisenkern, über den eine Induktionsspule gesteckt ist, deren Windungen relativ nahe am Kern verlaufen. Man kann davon ausgehen, dass quasi der gesamte magnetische Fluss auf das Innere des Kerns beschränkt ist, dass außerhalb von ihm das Magnetfeld quasi 0 ist. Dennoch erhält man eine Induktionsspannung, wenn man z.B. einen dreiecksförmig sich verändernden Strom durch die Feldspule schickt. Im Inneren des Kerns und damit der Induktionsspule ändert sich der Fluss, also Induktion.

(Aus dem einen Ende des Kerns tritt das magnetische Feld aus, es muss beim anderen Ende wieder eintreten; alle magnetischen Feldlinien müssen beim B-Feld ja geschlossen sein. Der magnetische Fluss muss also außerhalb des Kerns wieder "zurückkehren". Also kann das Magnetfeld außerhalb des Kerns nicht exakt 0 sein. Im Vergleich zum gesamten Raum außerhalb des Kerns entfällt davon aber auf die Windungsfläche der Induktionsspule ein vernachlässigbarer Flussanteil und trägt so quasi nicht zur Induktion bei.)

Und noch eine Folgerung ergibt sich aus dem Induktionsgesetz: Der magnetische Fluss, der von einer geschlossenen Leiterschleife eingeschlossen wird, kann sich offenbar auch dadurch ändern, dass zwar das Magnetfeld B zeitlich konstant ist, aber sich die Orientierung der Windungsfläche im Vergleich zur Magnetfeldrichtung ändert. Das kann auch so beschrieben werden, dass sich die vom Magnetfeld senkrecht durchsetzte Fläche A ändert. Wir kennen das von Versuch 7 in Abschnitt 3. Das ist z.B. auch der Fall, wenn eine Induktionsspule im konstanten (homogenen oder nichthomogenen) Magnetfeld gedreht wird. Ein Versuch zeigt das:

Versuch: Eine Induktionsspule dreht sich im zeitlich konstanten Magnetfeld zwischen den Spulen eines Helmholtzspulenpaars, angestoßen mit der Hand. Das trägheitslose Zeigerinstrument zeigt eine oszillierende Induktionsspannung an, deren Maximalwert immer geringer wird, je langsamer sich die Spule dreht. Von der Induktionsspule aus gesehen tritt das Magnetfeld einmal auf der roten Seite der Induktionsspule ein, dann wieder auf der blauen Seite. Der magnetische Fluss in der Induktionsspule ändert sich, also Induktion. Aber auch die Größe der dem Magnetfeld senkrecht dargebotenen Windungsfläche ändert sich.

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Rechnerisch sieht das so aus: ΔΦ = Δ (B · A) = ΔB · A + B · ΔA = B · ΔA (bis auf das letzte Gleichheitszeichen gelten alle Gleichheitszeichen immer, wenn sich ein Fluss dreiecksförmig ändert. Eine Änderung des magnetischen Flusses kann es selbst bei konstantem Magnetfeld geben, wenn sich die Windungsfläche ( ΔA) ändert ^***).

Wenn du schon die Ableitung kennst, kennst du auch die Produktregel für die Ableitung nach der Zeit, die besagt: Φ^· = (B · A )^· = B^· · A + B · A^· .

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8. Das Induktionsgesetz in verschiedenen Situationen

1. linear veränderlicher magnetischer Fluss

2. Bewegung der Induktionsschleife durch ein konstantes magnetisches Feld hindurch

3. Drehung einer Induktionsschleife  mit konstanter Winkelgeschwindigkeit in einem konstanten magnetischen Feld

4. sinusförmig veränderlicher magnetischer Fluss und ruhende Induktionsschleife

5. unterschiedliche Spannungen zwischen zwei Punkten einer Induktionsschleife - auch hier bewährt sich der Begriff der Ringspannung

Vgl. PDF-Datei

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9. Kann man Induktion verstehen?

"Verstehen" heißt in der Physik: eine neue Erkenntnis auf einen bereits bekannten und wohl vertrauten Sachverhalt zurückführen. Im Allgemeinen kann man die Induktionsspannung nicht auf frühere Kenntnisse zurückführen. Induktion ist eine völlig neue Erscheinung, die man gesetzmäßig erfassen kann, aber nicht in dem Sinn "verstehen" kann, dass man sie auf frühere Kenntnisse zurückführt. Man kann nur die Bedingung und deren Folge nennen: "Wenn sich in einer geschlossenen Kurve C der magnetische Fluss ändert, entsteht längs dieser Kurve eine Ringspannung." Deswegen haben Michael Faraday (um 1831) und  ca. 40 Jahre später James Clark Maxwell das Induktionsgesetz wie oben als eines der vier "Grundgesetze" der Elektrizitätslehre ("Elektrodynamik") formuliert, das sich nicht auf andere zurückführen lässt.

Es gibt einen Ausnahmefall, der sich sehr wohl auch auf frühere Kenntnisse zurückführen lässt:

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10. Zusammenhang mit der Lorentz-Kraft in Sonderfällen

Auf einem U-förmigen Leiterbügel gleitet eine Leiterbrücke in einem zeitlich konstanten Magnetfeld. Im Inneren der so gebildeten Leiterschleife entsteht also ein zeitlich veränderlicher magnetischer Fluss. Der U-förmige Leiterbügel ruht in einem Bezugssystem mit einem Magnetfeld B. In ihm bewegt sich - senkrecht zu den Magnetfeldlinien - der Leiterbügel mit der Geschwindigkeit v (In Bewegungsrichtung). Auf die mit dieser Bewegung "mitgerissenen" Leitungselektronen in der Leiterbrücke entsteht eine Lorentz-Kraft, die die Elektronen zu einem Ende der Leiterbrücke hin drängt. Über den U-förmigen Leiterbügel fließen die Elektronen wieder zum anderen Ende der Leiterbrücke zurück. Dabei wird eventuell Energie am Leitungswiderstand des Leiterbügels in innere Energie, Licht und Wärme umgesetzt. Woher kommt diese Energie? Sie kann nur aus der Arbeit kommen, die durch die Lorentz-Kraft  FL' verrichtet wird (bzw. die letzten Endes durch mechanische Arbeit zur Bewegung der Leiterbrücke von außen zugeführt wird). Also gilt für die Arbeit für einen vollen Umlauf: WO = WLorentz, AC  + WCA       (Die Arbeit für die Verschiebung von C nach A über das Lämpchen, WCA = 0 , weil  im Außenraum zwischen C und A keine Kraft wirkt, welche Energie zuführt, die also den Ringstrom antreiben könnte). Also entsteht auch hier eine Ringspannung, zu der es aber nur vom Bereich des Leiterbügels her einen Beitrag gibt: durch die Lorentz-Kraft. Wie oben gilt  beim Transport der Ladung q: WLorentz, AC = q·B·v·ℓ  bzw.  für die Ringspannung UO = B·ℓ·v.  *) Mit Hilfe der Lorentz-Kraft bekommst du also in diesem Fall die richtige Induktionsspannung (Ringspannung) heraus. (rosa in den beiden Zeichnungen: von der geschlossenen Kurve umfasster magnetischer Fluss. Er ändert sich mit der eingeschlossenen Fläche, wenn die grüne Leiterbrücke verschoben wird.)

Du kannst jetzt auch klären, weshalb die Proportionalitätskonstante im Induktionsgesetz gerade den Betrag 1 hat:

Ergänzt man nämlich die Leiterbrücke (den Stab) von Abschnitt 10 durch einen U-förmigen Leiter, der im Labor ruht, gegenüber dem sich also die Leiterbrücke mit der Geschwindigkeit v bewegt, dann wird die eingeschlossene Fläche A im Zeitintervall Δt um ℓ·v· Δt verändert (um den gelb gezeichneten Anteil). Dementsprechend ändert sich der magnetische Fluss um Δ Φ = B·ℓ·v·Δt, also   Δ Φ/ Δt  = B·ℓ·v. Weil hier die Windungszahl n = 1 ist, entspricht das bis auf das negative Vorzeichen direkt der Induktionsspannung UO = B·ℓ·v, deren Betrag in Abschnitt 10 mit der Lorentz-Kraft hergeleitet wurde. Die Übereinstimmung zeigt: Ein eventueller Faktor, die Proportionalitätskonstante im allgemeinen Induktionsgesetz,  muss den Betrag 1 haben!

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11. Jetzt hast du also zwei Möglichkeiten zur Verfügung um eine Induktionsspannung zu berechnen:

a) mit Hilfe des allgemeinen Induktionsgesetzes:  U_O = - n · Φ^·    Das funktioniert immer. Du musst allerdings angeben können, mit welcher Geschwindigkeit sich der magnetische Fluss ändert, also Φ^· . Im Fall einer linearen zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses gilt: Φ^· = ΔΦ/Δt.

b) mit Hilfe der Lorentz-Kraft:  F_L = q·v·B . Das funktioniert aber nicht immer.Es gibt keine Lorentz-Kraft, wenn keine Bewegung im Vergleich (relativ) zu dem Bezugssystem stattfindet, in dem das Magnetfeld gemessen wird.

Wenn beide Verfahren funktionieren, kommt natürlich beidemale das gleiche heraus.

Es gibt keinen Widerspruch zwischen den beiden Betrachtungen a) und b).

Beispiel: Betrachte einen Hufeisenmagneten, über dessen einen Schenkel ein rechteckiger gut leitender Ring gesteckt wird. Diesmal soll der Ring hin und her bewegt werden, längs des Schenkels in Pfeilrichtung. Auch in diesem Fall eines leitenden Rings, der auf einem Schenkel eines Hufeisenmagneten hin und her bewegt wird führen beide Betrachtungsweisen: a) mit der Flussänderung durch das Magnetfeld im Schenkel bzw. b) mit der Lorentz-Kraft zwischen den Schenkeln im Sinne des Induktionsgesetzes zur gleichen Induktionsspannung. Im Realversuch ersetzt man das Lämpchen wieder durch einen empfindlichen Spannungsmesser.

Merkwürdig ist das aber schon: Einmal wurde die Lorentz-Kraft allein auf die Ringseite im homogenen Feld herangezogen (zwischen den Schenkeln des Magneten), das andere Mal das "weit" entfernte magnetische Feld in dem Schenkel. Das ist ein Anzeichen für die "Nichtlokalität der Induktion": Ursache für sie sind nicht Vorgänge an einer bestimmten Stelle (nichtlokal = nicht an einem bestimmten Ort). Grund ist, wie man zeigen kann, dass die Felder an der Stelle der Lorentz-Kraft mit den Feldern im Inneren des Schenkels eng zusammenhängen. Das ist eine Folge der Tatsache, dass das Magnetfeld B nur geschlossene Feldlinien hat.

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12. Was geschieht, wenn kein geschlossener Stromkreis vorliegt?

Ein Leiter oder eine Spule  mit offenen Enden lässt sich leicht zu einer geschlossenen Kurve C erweitern, die den sich ändernden magnetischen Fluss umgibt. Das kann mit dem (hochohmigen) Spannungsmesser und seinen leitenden Zuführungen geschehen, oder einfach mit einer gedachten Kurve. Für diese geschlossene Kurve C gilt wieder das Induktionsgesetz. Zu einem Ringstrom kann es ohne leitende Verbindung offenbar nicht kommen, wohl aber zu einer Ringspannung.

Die  Folge der Ringspannung erkennst du am einfachsten an einer Leiterbrücke (Metall-Stab), die im Magnetfeld gleitet, und zwar so, dass die Leiterbrücke bei ihrer Bewegung "Magnetfeldlinien senkrecht schneidet". Die restlichen Teile der Kurve C sollen in dem Bezugssystem K ruhen, in dem das Magnetfeld B gemessen wird.

Um die Ringspannung zu berechnen müssen wir die Arbeit für den Transport einer Ladung längs eines vollen Umlaufes untersuchen. Hier spielt die Lorentz-Kraft die entscheidende Rolle. 1. Fall: Geschlossener Stromkreis aus Leitern: Auf der oben beschriebenen geschlossenen Kurve C erhalten wir aber nur einen einzigen Beitrag als Folge der Lorentz-Kraft FL im Stab: Leitungselektronen werden an das eine Ende der Leiterbrücke verschoben. Die Lorentz-Kraft ist bei homogenem B-Feld und konstanter Geschwindigkeit v konstant und in der ganzen Leiterbrücke gleich. Deshalb verrichtet die konstante Lorentz-Kraft eine Arbeit an einem Elektron der Ladung q gemäß W = FL· ℓ . Es gilt dann also W = q·B·v·ℓ, wenn ℓ die Länge der Leiterbrücke ist. Das ist der einzige Beitrag zur Arbeit für einen vollen Umlauf, weil es außerhalb des Stabs keine Lorentz-Kraft gibt. Also gilt für die Ringspannung UO = W/q = B·ℓ·v. 2. Fall: Wenn aber der Stab elektrisch isoliert ist, "stauen" sich die Leitungselektronen an dem einen Ende des Stabs. Es entsteht ein Minuspol und am anderen Ende der Leiterbrücke ein Elektronenmangel bzw. ein Pluspol. Das ist also hier die Folge der Ringspannung.

Während sich im isolierten Stab der Minus- und der Pluspol allmählich ausbilden, geschieht etwas Neues: Durch die verschobenen Ladungen entsteht zusätzlich ein elektrisches Feld E vom Pluspol zum Minuspol. Sein Aufbau ist beendet, wenn Kräftegleichgewicht zwischen der Lorentz-Kraft und der sekundären elektrischen Kraft F_E = q·E entstanden ist. Da die Lorentz-Kraft bei homogenem B-Feld und konstanter Geschwindigkeit v konstant und in der ganzen Leiterbrücke gleich ist, ist das sekundäre elektrische Feld E ein homogenes Feld, wie in einem idealen Plattenkondensator, und das unabhängig von der Form der Leiterbrücke! Wie im Plattenkondensator ist mit diesem sekundären elektrischen Feld eine Potenzialdifferenz verbunden: Das positive Ende der Leiterbrücke liegt auf höherem Potenzial als das negative Ende. Da das Feld homogen ist, gilt wie im Plattenkondensator für diese Potenzialdifferenz U = E·ℓ = B·ℓ·v . Sie ist von gleichem Betrag wie die Ringspannung.

Was wurde also gemacht? Mit einem Trick - dadurch, dass der Stromkreis jetzt nicht geschlossen ist - erzeugten wir zusätzlich zur Ringspannung eine gewöhnliche Spannung (Potenzialdifferenz) von gleichem Betrag. Durch sie können wir die Ringspannung messen, auch dann, wenn kein Ringstrom entstehen kann. Ist aber der Stromkreis geschlossen, also bei vorhandenem Ringstrom, gibt es diese sekundäre gewöhnliche Spannung nicht mehr (es "stauen" sich keine Ladungen mehr). Da sie von gleichem Betrag wie die Ringspannung ist, bestimmt ihr Betrag aber immer noch die Größe des Ringstroms für den Fall, dass dieser möglich ist und die gewöhnliche Spannung nicht existiert.

Wie würde das sekundäre Feld E - für sich genommen - auf ein Elektron wirken? Im Inneren der Leiterbrücke würde es das Elektron vom Minus- zum Pluspol treiben (wenn nicht die Lorentz-Kraft wirken würde), außerhalb der Leiterbrücke aber ebenfalls vom Minus- zum Pluspol. Es kann nicht für einen Ringstrom sorgen; es hat im Inneren der Leiterbrücke die "falsche" Richtung, abgesehen davon, dass es bei einem geschlossenen Stromkreis gar nicht existiert. Dagegen sorgt die Ringspannung eindeutig dafür, dass Leitungselektronen im geschlossenen Stromkreis immer im Kreis herum fließen: Außerhalb der Leiterbrücke vom Minus- zum Pluspol und innerhalb der Leiterbrücke weiter vom Plus- zum Minuspol und so fort, immer im Kreis herum.

Zur Erklärung der Hall-Spannung in einem ähnlichen Fall ist die Herleitung aber korrekt.

Wegen der betragsmäßigen Übereinstimmung nennen viele Schulbücher die sekundär entstandene gewöhnliche Spannung "Induktionsspannung". Dass sie diese Situation meinen, erkennst du an der typischen Formulierung "zwischen den Enden einer Spule, eines im Magnetfeld bewegten leitenden Stabs oder einer Leiterschleife entsteht eine Induktionsspannung". Da durch das Aufbrechen des Stromkreises (getrennte Enden!) und dem Einbau des hochohmigen Spannungsmesser ein Strom verhindert wird, entsteht die Situation dieses Abschnitts: kein geschlossener Stromkreis.

Beachte auch: Man muss sehr vorsichtig sein, wenn man mit Feldlinien argumentiert. Im Kapitel über das Magnetfeld hast du ja erfahren, dass Feldlinien nur gedachte Linien sind, ein Modell, das manchmal recht nützlich ist, aber auch manchmal in die Irre führt.

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13. Woher kommt die Energie?

Die Situation ist wie oben: Als Folge der Lorentz-Kraft FL' im obigen Bild werden Elektronen an das untere Ende der Leiterbrücke gedrängt und fließen über den äußeren Stromkreis wieder an das obere Ende zurück. Das ist mit einem Strom I verbunden, der gemäß der Zeichnung links orientiert ist. Auf einen Strom senkrecht zum Magnetfeld B entsteht wieder eine magnetische Kraft FL , die der Bewegung entgegengerichtet ist. (Da jetzt von einem anderen Strom, I, die Rede ist, handelt es sich auch um eine andere Lorentz-Kraft als oben.) Zur Richtungsentscheidung dient eine Hand-Regel, z.B. die Rechte-Hand-Regel, bei der der Daumen in Stromrichtung (I) zeigt **). Diese magnetische Kraft FL würde den Leiterbügel schnell stoppen, wenn man keine Gegenmaßnahme ergreifen würde: eine Kraft von außen, die in Bewegungsrichtung, entgegengesetzt zu FL, wirkt. Mit ihrer Hilfe wird bei der Bewegung der Leiterbrücke mechanische Arbeit verrichtet. Der Induktionsstrom I ist also so gerichtet, dass eine Kraft FL entsteht, gegen die von außen eine mechanische Arbeit verrichtet werden muss, damit sich die Leiterbrücke in Bewegungsrichtung mit konstanter Geschwindigkeit bewegen kann. Das ist hier die Aussage der Regel von Lenz. Die Energie, die das Lämpchen auf dem Umweg über die Induktion zum Leuchten bringt, wurde also von demjenigen aufgebracht, der die Leiterbrücke in Bewegungsrichtung "mit Gewalt" gezogen hat. Mit Hilfe der Induktion wurde also mechanische Arbeit in elektromagnetische Energie (im elektrischen und magnetischen Feld innerhalb der Windungsfläche und ihrer Umgebung) und dann weiter in innere Energie, Licht und Wärme umgewandelt. Würdest du das Lämpchen aus der Fassung schrauben, könnte kein Strom I fließen, es würde keine Energie nach außen abgestrahlt werden, und es müsste niemand Arbeit verrichten, um die Leiterbrücke in Bewegungsrichtung zu verschieben. Ohne Reibung würde sie sich - einmal angestoßen - immer mit konstanter Geschwindigkeit weiter bewegen.

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14. Ringspannung und Stromstärke

Auch für die Ringspannung gilt bei einem geschlossenen Stromkreis mit dem Gesamtwiderstand R das Ohm'sche Gesetz:

Nehmen wir einmal an, es wird in einer Zeit Δt eine Ladungsmenge Q in einem vollen Umlauf durch den Kreis transportiert. Dann ist dazu die Arbeit W = U_O.Q aufzuwenden. Weil aber Q = I.Δt     haben wir also

Du kennst vielleicht die Gesetzmäßigkeit für die Leistung P (= Arbeit pro Zeiteinheit), die bei einem Strom I an einem Widerstand R in innere Energie und Wärme umgesetzt wird:

Damit kannst du die Gleichung (*) deuten: Das ist eine Aussage des Energiesatzes! Links steht die Energie, die bei einem vollen Umlauf der Ladung Q durch die Induktion zugeführt wird, rechts die Energie, die in der gleichen Zeit Δt im Widerstand R des Stromkreises als Wärme nach außen abgegeben wird. Das musste man erwarten können: Nämlich, dass die in einer Zeit Δt nach außen abgegebene Energie nur von der in der gleichen Zeit durch die Induktion zugeführten Energie herkommen kann. Weil dies so vernünftig  heraus kommt, können wir dem Ohm'schen Gesetz in der oben aufgeführten Form vertrauen. Es bestätigt die anfänglichen Versuche, nach denen der sich ausbildende Strom von der Ringspannung, aber auch vom Widerstand R abhängt. So lässt sich die jeweilige Stromstärke berechnen.

Die grüne Leiterbrücke wird im Magnetfeld mit "Gewalt" über einen U-förmigen Leiterbügel gezogen, bei gutem Kontakt mit dem U-Leiter. Bei diesem einfachsten Typ eines Generators wird mechanische Arbeit mittels der Induktion in elektromagnetische Energie umgewandelt, die schließlich durch ein Lämpchen als Licht und Wärme abgestrahlt wird. Diese Erscheinung, dass in Generatoren durch Induktion mechanische Arbeit in elektromagnetische Energie umgewandelt wird, ist einer der Gründe für die überragende Bedeutung der Induktion. (rosa in der Zeichnung: von der geschlossenen Kurve umfasster magnetischer Fluss. Er ändert sich mit der eingeschlossenen Fläche, wenn die grüne Leiterbrücke verschoben wird.)

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15. Eine Aufgabe erläutert den Begriff der Ringspannung im Unterschied zur gewöhnlichen Spannung

Aufgabe: In der nebenstehenden Schaltung sollen zwei Spannungen zwischen denselben Punkten X und Y gemessen werden, und zwar mittels der roten und der grünen Anschlussleitungen.  Ist das nicht eine ziemlich sinnlose Frage? Muss dabei denn nicht die gleiche Spannung herauskommen? Zwei Widerstände bilden zusammen mit geraden Leiterstücken ein Quadrat. Die Anschlussleitungen sind um die Quadratseiten gewickelt bzw. miteinander verdrillt, so dass kein zusätzlicher magnetischer Fluss eine Rolle spielt. Die Änderungsgeschwindigkeit des magnetischen Flusses ΔΦ/Δt  im Quadrat soll gerade - 6 V sein. a) Gib die Ringspannung an! b) Berechne die Stromstärke ("Spannung macht Strom")! c) Berechne Urot und Ugrün als Spannungsabfälle an den Widerständen bei Stromfluss ("Strom macht Spannung")! d) Wie lässt sich das überraschende Ergebnis  Ugrün ≠ Urot (sogar Ugrün = 2·Urot ) trotz Messung zwischen den gleichen Punkten X und Y erklären?

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16. Warnungen

1. Nach der Herleitung der Ringspannung über die Lorentz-Kraft könnte man meinen, dass die Induktionsspannung dort lokal erzeugt wird, wo die Lorentz-Kraft entsteht, also im Leiter. Andererseits ändert sich der von der Windung eingeschlossene magnetische Fluss in der gesamten Windungsschleife. Deswegen ist es im Allgemeinen nicht sinnvoll, die Induktion als einen lokalen Effekt zu betrachten, der an einem bestimmten Ort stattfindet. Eine solche Betrachtungsweise hat schon zu vielen Missverständnissen geführt, die in der Literatur heftig diskutiert wurden, auch von esoterischen Kreisen. Vielmehr sollte man den gesamten von der Windung eingeschlossenen magnetischen Fluss im Auge haben, der sich ändert, und die Ringspannung längs der gesamten Windung. Nur über deren Zusammenhang macht das Induktionsgesetz eine allgemeine Aussage. ("Nichtlokalität der Induktion")

2. In Schulbüchern wird manchmal zwischen einer "Induktion im bewegten Leiter" und einer "Induktion im ruhenden Leiter" unterschieden. Solche Bezeichnungen sind aus zwei Gründen sinnlos und irreführend. Denn jeder beliebige Leiter ist bewegt und zugleich ruht jeder beliebige Leiter. Das ist nur eine Frage des Bezugssystems, von dem aus der Leiter betrachtet wird. Für das allgemeine Induktionsgesetz, formuliert mit dem sich zeitlich ändernden magnetischen Fluss, ist eine Unterscheidung zwischen verschiedenen Arten der Induktion überflüssig. Zudem  findet, wie eine genauere Betrachtung und Experimente zeigen, Induktion überhaupt nicht speziell in einem Leiter statt. Es handelt sich vielmehr um einen Zusammenhang zwischen zeitlichen Änderungen des Magnetfelds und einem entstehenden elektrischen Feld im ganzen Bereich in und um der Windungsfläche. Das Missverständnis, dass die Induktion in einem Leiter stattfinde, hat zu vielen kuriosen Diskussionen geführt, von denen man einige Kostproben im Internet nachlesen kann. Was mit einer "Induktion im ruhenden Leiter" bezeichnet wird, sollte eher heißen "Induktion bei einer zeitlichen Änderung des Magnetfelds B" im Unterschied zu einer Situation, bei der der eingeschlossene magnetische Fluss durch eine Flächenänderung der Windungsschleife variiert.

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^*)  Dass die Erklärung mit der Lorentz-Kraft funktioniert, hängt damit zusammen, dass nach Einsteins Relativitätstheorie in gewisser Weise Lorentz-Kraft und Induktion zwei Seiten derselben Medaille sind. Das soll hier aber nicht erklärt werden. Mit der Lorentz-Kraft hast du also in diesem Sinn schon früher einen Aspekt der Induktion kennen gelernt.

^**) Die Stromrichtung (I) ist hier immer die so genannte "technische Stromrichtung", entgegengesetzt zu einer eventuellen Bewegungsrichtung von Elektronen

^***) Es gilt ΔΦ = Δ (B · A) = B(t + Δt) · A(t + Δt) - B(t) · A(t)

= B(t + Δt) · A(t + Δt) - B(t + Δt) · A(t) + B(t + Δt) · A(t) - B(t) · A(t)

= B(t + Δt) · [ A(t + Δt) - A(t) ] + [ B(t + Δt) - B(t ) ] · A(t)

= B(t + Δt) · ΔA + ΔB · A(t)

Berücksichtigst du, dass für sehr kleine Δt gilt: B(t + Δt) ≈ B(t) , erhältst du ΔΦ = B(t) · ΔA + ΔB · A(t)

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(zuletzt aktualisiert April 2013)