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© Horst Hübel Würzburg 2005 - 2018


Lorentz-Kraft und Lorentz-Transformation Eine Analyse

1. Transformation der Felder und der Lorentz-Kraft nach der Relativitätstheorie für kleine Geschwindigkeiten v << c

Generell kann man sagen, dass für dieselbe Situation, von verschiedenen relativ zueinander bewegten Bezugssystemen aus beurteilt, unterschiedliche elektrische und magnetische Felder (E und B) gemessen werden, und dass z.B. auch Bewegungen in solchen Bezugssystemen unterschiedlich aussehen. Wenn in einem Bezugsystem BZS1 die Felder E und B gemessen werden, dann werden in einem mit der konstanten Geschwindigkeit v relativ dazu bewegten Bezugssystem BZS2 die Felder E' und B' gemessen, wobei in nichtrelativistischer Näherung im Gauß-System gilt:

(1)               E' = E + v × B/c  und

(2)               B' = B - v × E /c2                                      häufig also bei kleinen Geschwindigkeiten v: B' ≈ B

(c Lichtgeschwindigkeit, × Kreuzprodukt)

Diese Transformationsgesetze haben bedeutende Konsequenzen:

Wenn z.B. in BZS1 ein reines Coulombfeld E gemessen wird und kein B-Feld (B = 0), dann misst ein Beobachter  in BZS2 trotzdem ein elektrisches und ein magnetisches Feld (E' und B'). Das könnte die Situation eines in BZS1 ruhenden Elektrons sein, das in einem BZS2 bewegt ist, also einen elektrischen Strom darstellt. In BZS2 beobachtet man dann nicht nur ein (verformtes) elektrisches Feld, sondern gemäß (2) auch ein magnetisches Feld, wie es auch das Biot-Savart'sche Gesetz für einen stromdurchflossenen Leiter verlangt. Das zeigt wieder einmal, dass die Relativitätstheorie auch für sehr kleine Geschwindigkeiten richtige Aussagen macht.

Umgekehrt, wenn in BZS1 ein reines Magnetfeld (B) vorliegt, ist in BZS2 auch ein elektrisches Feld E' = v × B/c nachzuweisen. Das hat z.B. Folgen für die Unipolar-Induktion.

Dementsprechend werden die Lorentz-Kräfte auf eine Ladung q

(3)             F = q E + q v" × B/c                         und

(4)             F' = q E' + q v' × B'/c

gemessen. In der Schule nennt man manchmal nur den magnetischen Anteil "Lorentz-Kraft".

v" ist dabei die Geschwindigkeit der Ladung q im BZS1, v' die Geschwindigkeit im BZS2. Beide Geschwindigkeiten unterscheiden sich in der Regel von der Relativgeschwindigkeit v der beiden BZSe.


2. Forminvarianz der Lorentz-Kraft

Die beiden Ausdrücke (3) und (4) für die Kräfte demonstrieren mit ihrem gleichartigen Aufbau aus den im jeweiligen Bezugssystem geltenden Feldern und Geschwindigkeiten ihre Forminvarianz (Kovarianz): Wenn nur die im jeweiligen Bezugssystem geltenden Größen verwendet werden, sehen die Ausdrücke gleich aus. Will man die Lorentz-Kraft in irgendeinem BZS berechnen, benutzt man nur die Größen in diesem BZS und braucht sich nicht um die Felder in anderen BZS kümmern.


3. BZS2 mit ruhender Ladung

Betrachten Sie eine Ladung q, die im BZS2 ruht und sich mit der Geschwindigkeit v relativ zum BZS1 bewegt. Im BZS1 soll ein elektrisches Feld E und ein magnetisches Feld B herrschen. In BZS2 erfährt die ruhende Ladung vielleicht ein elektrisches Feld E', aber keine magnetische Lorentz-Kraft, weil sie in BZS2 ruht. Es gilt also F' = q E'.

Im BZS1, das mit der Geschwindigkeit -v relativ zu BZS2 bewegt ist, erfährt sie jedoch ein geändertes elektrisches Feld E, das magnetische Feld ist weitgehend unverändert (B' ≈ B). In BZS1 erfährt die Ladung also auf jeden Fall eine elektrische Lorentz-Kraft

q E =   q (E' - v × B'/c)  ≈   q (E' - v × B/c) 

Der zweite Anteil ist nur scheinbar ein magnetischer Anteil, der von der Bewegung mit der Geschwindigkeit -v relativ zum BZS2 zusammenhängt. Er ist aber eigentlich ein elektrischer Anteil. Ich nenne ihn vorsichtshalber Lorentz-artig.

Manche Autoren sprechen deshalb manchmal davon, dass der magnetische Anteil der Lorentz-Kraft ein relativistischer Effekt sei. Der Term - q  v × B/c sieht aus wie eine Lorentz-Kraft, hat aber das falsche Vorzeichen der Geschwindigkeit.  Es ist zu beachten, dass in BZS1 eine echte Lorentz-Kraft v × B/c dazu kommt, weil sich q (zusammen mit BZS2) im BZS1 mit der Geschwindigkeit v bewegt.

Wie weit eine solche Aussage sinnvoll ist, soll im Folgenden untersucht werden.


4. BZS1 mit ruhender Ladung

Betrachten Sie eine Ladung q, die im Laborsystem BZS1 ruht. Dort erfährt sie vielleicht ein elektrisches Feld E und ein magnetisches Feld B,  aber keine magnetische Lorentz-Kraft. Es gilt also F = q E (v" = 0)

Im BZS2, das mit der Geschwindigkeit v relativ zum Laborsystem bewegt ist, erfährt sie jedoch ein geändertes elektrisches Feld E' = E + v × B/c, das magnetische Feld ist weitgehend unverändert (B' ≈ B). In BZS2 erfährt die Ladung also eine elektrische Lorentz-artige Kraft q E' = q(E + v × B/c). Hinzu kommt eine echte magnetische Lorentz-Kraft q v' × B'/c. v' ist die Geschwindigkeit im BZS2.

(5)             F' = q E' + q v' × B'/c 


5. Größenbeziehung der Kräfte

Eine andere Frage ist die nach der Größenbeziehung der Kräfte in beiden BZS.

In erster Näherung (bei Vernachlässigung des relativistischen Additionstheorems) gilt dann v' = v" - v, also v + v' = v"

Dann können wir die Anteile auch durch Größen im Laborsystem ausdrücken:

q E' =   q (E + v × B/c) zusätzlich zur echten magnetischen Lorentz-Kraft q v' × B/c. Das Auftreten von v weist auf die Relativbewegung zwischen BZS2 und BZS1 mit der Geschwindigkeit v hin. v × B/c kommt durch die Lorentz-Transformation zustande.

Zusammen also

F' = q (E + v × B/c) + q v' × B/c = q [E + (v + v') × B/c], also

(6)             F' = q (E + v"× B/c) = F

In beiden BZS sind dann die Lorentz-Kräfte  F und Fder Größe nach identisch. Da hier nur die nichtrelativistische Näherung betrachtet wurde, ist das sogar plausibel.

Wenn das Elektron in BZS1 ruht (v" = 0), fällt in beiden BZS der magnetische Anteil der LK weg. Das ist insofern verwunderlich, als im BZS2 trotz der Bewegung des Elektrons im Magnetfeld mit der Geschwindigkeit -v keine magnetische Lorentz-Kraft entsteht. Grund ist die Kompensation zwischen zwei Lorentz-artigen Anteilen, nämlich der "echten" LK in BZS2, also q v' × B/c = - q v × B/c und einem Term, der eine Folge des elektrischen Felds in BZS1 und dem durch die Lorentz-Transformation entstandenen Zusatzterm in BZS2 ist (q v × B/c).


6. Ein anderer Fall spielt bei der Unipolar-Induktion eine Rolle

In BZS1 bewege sich ein Magnet mit der Geschwindigkeit v. In ihm ruhe ein Elektron. Im BZS2 spürt es evtl. ein elektrisches Feld E' und ein magnetisches Feld B' (als Folge des Magneten). Weil es in BZS2 ruht, enthält die Lorentz-Kraft dort keinen Anteil vom Magnetfeld (F'= q E').

Wir wollen jetzt die Kraft auf dieses Elektron untersuchen, wie sie gesehen wird vom BZS1. Weil sich das Elektron in BZS1 mit v bewegt (zusammen mit BZS2), wirkt auch der magnetische Anteil der Lorentz-Kraft mit q v × B. So würde es eine naive Überlegung nahelegen. Aber wir haben einen wichtigen Beitrag weggelassen und den nichtrelativistisch genäherten Beitrag zum elektrischen Feld - q v × B im BZS1 vernachlässigt. Das Minuszeichen kommt daher, dass sich BZS1 mit der Geschwindigkeit -v relativ zu BZS2 bewegt. Zusammen also auch hier F = q E' ohne magnetischen Anteil. Das Weglassen dieses Zusatzterms hat leider historisch bei der Diskussion der Unipolar-Induktion manchmal zu falschen Ergebnissen geführt.


7. Hinweis

Außer bewegten Ladungen (elektrischen Strömen) gibt es noch andere Ursachen eines Magnetfelds ("Quellen"; jedoch alle Magnetfelder sind Wirbelfelder): magnetische Momente bzw. Spins von Elektronen, Ionen oder Atomen. Der Spin ist zwar ein relativistischer Effekt, aber das von ihm ausgehende Magnetfeld lässt sich nicht durch eine einfache Lorentz-Transformation zwischen Inertialsystemen in ein anderes Bezugssystem erklären. Es gibt keine klassische Erklärung des Spins. Rotation einer elektrischen Ladung ist nur ein - nicht ganz passendes - Modell. Was sollte schließlich die Rotation eines Körpers ohne Ausdehnung (des Elektrons) sein? Der in diesem Zusammenhang manchmal definierte "klassische Elektronenradius" ist nur eine mathematische Hilfsgröße, der kein realer Radius entspricht. Wenn es eine solche Rotation gäbe, müsste am Äquator des vermeintlich rotierenden Körpers die Lichtgeschwindigkeit überschritten werden.

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( Juni 2018 )