.
Mit zunehmender Teilchenmasse spielt die
deBroglie-Wellenlänge λ eine immer geringere
Rolle
Ein Elektron (me = 9,1·10-31 kg), das
durch eine Spannung von 10 V auf die Energie E = 10 eV beschleunigt wurde,
hat eine klassische Geschwindigkeit v = 1,9.106 m/s. Die
zugehörige deBroglie-Wellenlänge ist dann λ =
h/(m·v) = 3,9.10-10 m. Rechne es bitte nach! Wenn dann bei
einem Doppelspalt-Versuch der Spaltabstand in der Größenordnung1)
der Wellenlänge wäre, könnten wir Einteilchen-Interferenz
gut beobachten. Beim Atomkern von einem Wasserstoff-Atom (einem
Proton) mit ca. 2000-facher Masse eines Elektrons bräuchten wir bei der
gleichen Geschwindigkeit schon 2000-mal kleinere Doppelspalt-Strukturen,
damit Einteilchen-Interferenz gut beobachtbar wird. (Dazu bräuchten wir
eine Beschleunigungsspannung von ca. 20 000 V.)
Auch mit den fußballförmigen Fulleren-Molekülen (im Vergleich
zum Elektron ca. 1,4·106-fache Masse) ist
Doppelspalt-Interferenz gelungen. Man bräuchte bei der gleichen
Geschwindigkeit millionenfach kleinere Doppelspalt-Strukturen als für ein
Elektron. Stattdessen wählt man lieber eine deutlich kleinere
Geschwindigkeit (wenige 100 m/s) und ein Nachweisgerät, das kleinere
Abstände in der Interferenzfigur auflösen kann.
Da für größere Teilchen alle üblichen Strukturen deutlich gröber sind,
wird man in der Regel die vielen Nebenmaxima und -Minima nicht erkennen.
Bereits das Fulleren-Molekül können wir also in üblichen Situationen -
abgesehen vom Sonderfall - von einem klassisches Teilchen kaum
unterscheiden.
Nach diesem Argument bräuchte man für einen Schüler der Masse
50 kg und der Geschwindigkeit 2 mm/s, also mit der deBroglie-Wellenlänge λ
= 6,6·10-33 m, unrealistisch kleine Doppelspalt-Abstände in
gleicher Größenordnung. Allein aus diesem Grund kann man mit einem Schüler
sicher keine Interferenzfigur aufbauen, abgesehen davon, dass der Sch ja,
ohne zu murren, sehr oft und immer mit der gleichen Geschwindigkeit den
Doppelspalt passieren müsste, damit man den allmählichen Aufbau einer
Interferenzfigur erkennen könnte. Also, nach diesem Argument sieht es so
aus, als würde die Quantenphysik auch für makroskopische Teilchen gelten,
aber man würde Abweichungen zwischen klassischer Physik und Quantenphysik
so gut wie nie beobachten. Später erfährst du noch
einen anderen Grund, weshalb man keine Chance hätte.
.
Bohr'sches Korrespondenz-Prinzip
Bohr hatte schon sehr früh erkannt, dass Quantensysteme um so
"klassischer" werden, je höher sie angeregt sind. Ein Wasserstoff-Atom im
Grundzustand und in den ersten angeregten Zuständen verhält sich völlig
anders als ein klassisches Planetenmodell. Insbesondere kann das
"kreisende" Elektron nicht zugleich Ort und Geschwindigkeit als
Eigenschaft haben. Es kann also keine Bahn des Elektrons um den Atomkern
geben. Aber im Labor gelingt es in wasserstoffähnlichen Rydberg-Atomen,
das ist z.B. ein Rubidium-Atom, das Außenelektron z.B. in den 50.
angeregten Zustand zu bringen, aus dem Weltall kennt man sogar Anregungen
bis in den 360. angeregten Zustand. Solche Rydberg-Atome verhalten sich
weitgehend klassisch. Es hat schon einen recht guten Sinn, von einem
kreisenden Elektron zu sprechen. Es verhält sich sogar wie ein
schwingender Dipol, der eine elektromagnetische Welle mit der
Umlaufsfrequenz abstrahlt. Diese entspricht - wie man leicht
nachrechnen kann - sehr gut einem quantenphysikalischen Übergang von einem
Zustand mit n = 50 in den nächsttieferen, also mit n = 49. Also, bei hohen
Anregungen liefern Quantenphysik und klassische Physik in vielen Fällen
übereinstimmende Ergebnisse; die Quantenphysik geht in die klassische
Physik über.
.
Bewegtes Quantenteilchen im Vergleich zu einem
klassischen Teilchen - Ehrenfest gibt uns einen Schlüssel
Ein klassisches Teilchen hat einen bestimmten Ort x und eine
bestimmte Geschwindigkeit v. (Die Physiker sagen, es ist im Ortsraum und
im Impulsraum "lokalisiert".)
Bei einem Quantenteilchen können dagegen Ort und Geschwindigkeit
nie gleichzeitig exakt be-stimmte**)
Werte haben. Wenn wir bei einer sehr genauen Messung ein Quantenteilchen
in der engen Umgebung eines Ortes x finden, ist die
Wahrscheinlichkeitsdichte sehr eng um x konzentriert. Es ist ein Zustand
entstanden mit sehr kleiner Streuung der Messwerte Δx. Leider schreibt
dann die HUR vor, dass die Streuung Δv der Messwerte für die
Geschwindigkeit v (oder Δp für den Impuls p) in einem solchen Zustand sehr
groß ist. Wir wollen aber einen Zustand herstellen, in dem wir das
Quantenteilchen möglichst genau in der Nähe eines bestimmten Ortes finden,
wobei auch die Geschwindigkeit mit größter Wahrscheinlichkeit in der
engeren Umgebung eines bestimmten Wertes gefunden werden soll. Man könnte
meinen, dass das am ehesten ein klassisches Teilchen repräsentiert.
Ein solcher Zustand könnte durch ein recht eng begrenztes Wellenpaket
für die Wellenfunktion
beschrieben werden. Allerdings muss für diesen Zustand entsprechend der
HUR *) ein Kompromiss zwischen den
Streuungen Δx der Messwerte für den Ort und den Streuungen Δv der
Messwerte für die Geschwindigkeit v gefunden werden. Die Breite des
Wellenpaketes kann nicht zu gering gewählt werden, weil dann der
Streubereich der Geschwindigkeitswerte zu groß wäre. Umgekehrt kann der
Streubereich der Geschwindigkeit nicht zu klein gewählt werden, weil dann
der Streubereich der Ortswerte zu groß wäre. Nehmen wir an, es sei uns
gelungen, das Quantenteilchen in einen solchen geeigneten Zustand zu
präparieren.
 |
(1) Betrachte die Abbildung links. Hier ist die
Wahrscheinlichkeitsdichte für ein sich kräftefrei nach rechts
bewegendes Quantenteilchen dargestellt, also die
Wahrscheinlichkeit, den Ort des Quantenteilchens in einem engen
Bereich um den Wert x zu finden. Die Situation könnte einem Elektron
in einer Oszilloskopröhre entsprechen, das sich nach der
Beschleunigung kräftefrei auf den Bildschirm zu bewegt. Zunächst
sieht das wie eine halbwegs gute Wahrscheinlickeitsverteilung für
ein klassisches Teilchen aus: sie ist anfangs ziemlich konzentriert
um den Ort des Teilchens. Der Zustand wurde auch so präpariert, dass
die Geschwindigkeit nahe der des klassischen Teilchens zu finden
ist. Man stellt fest: Der Mittelwert oder Erwartungswert2)
bei Ortsmessungen - grob der Punkt mit größter
Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zu finden, bewegt sich mit der
Geschwindigkeit des klassischen Teilchens. Genau das hat der
österreichische Physiker Paul Ehrenfest
1927 mit dem nach ihm benannten Theorem für bestimmte
Situationen behauptet. |
(2) Doch allmählich wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung immer
unschöner: Sie wird immer breiter, "fließt auseinander", und man ist
immer weniger geneigt, in ihr eine geeignete
Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Darstellung eines klassischen
Teilchens zu sehen. Messwerte für Ort und Geschwindigkeit streuen
immer stärker und weichen immer mehr von denen des klassischen
Teilchens ab. Ehrenfests Theorem wird hier immer weniger anwendbar
sein.
| Cum grano salis kann man aber sagen:
Auch ein Elektron als Quantenteilchen bewegt sich -
wenn wir die Erwartungswerte von x und v betrachten - in
etwa so, wie wir es in der klassischen Physik gelernt
haben. Aber es sind streuende Messwerte für x und v zu
beobachten.
|
|
(3) Was wir über die Bewegung von Elektronen in der veralteten
Fernsehröhre, der Oszilloskopröhre, dem Fadenstrahlrohr oder im
Zyklotron gelernt haben, ist also in diesem Sinn richtig.
Wenn nur die Streuungen der Messwerte nicht wären! Aber
vielleicht gibt es Situationen, wo die Streuung im Vergleich zum
Messwert selbst klein ist? Wenn bei einem Erwartungswert <v>
= 100 m/s ein Streubereich von Δv = 100 m/s beobachtet wird, ist
das erheblich, aber bei <v> = 106 m/s macht die
gleiche Streuung weniger als 0,1 Promille aus!
(alle drei Abb. nach Brandt, Dahmen, The picture book of quantum
mechanics, Wiley, 1985)
|
 |
(1) Hier ist wieder die Wahrscheinlichkeit dargestellt, ein
Quantenteilchen in der Nähe eines Ortes x zu finden, diesmal aber
in einem unendlich hohen Potenzialkasten. Wir stellen uns
also vor, dass wir einen solchen Zustand präpariert haben, dass
das Teilchen zur Zeit 0 recht gut lokalisiert in der Nähe der
Mitte des Potenzialtopfs zu finden ist, wobei die möglichen
Geschwindigkeiten nahe der eines klassischen Teilchens sind. Diese
soll nach links gerichtet sein.
Und tatsächlich: Der Erwartungswert des Orts bewegt sich in
etwa mit der Geschwindigkeit des klassischen Teilchens nach
links. Der Wellenberg wird wie das Teilchen an der linken
Potenzialwand reflektiert. Der Wellenberg bewegt sich wie das
klassische Teilchen zur rechten Potenzialwand usw. Das wird
wieder durch das Ehrenfest-Theorem richtig
beschrieben.
Doch allmählich fließt die Wahrscheinlichkeitsverteilung immer
weiter auseinander, und durch die Interferenzen an den
Potenzialwänden überlagern sich immer mehr Maxima und Minima:
die entstehende Wahrscheinlichkeitsverteilung passt immer
weniger zu der Ausbreitung eines klassischen Teilchens.
Messwerte für Ort und Geschwindigkeit werden immer stärker
streuen und von denen des klassischen Teilchens abweichen.
.
|
|
(2) ( Bei diesem Zustand eines Wellenpakets handelt es sich nicht
um einen der stationären Zustände be-stimmter Energie E, wie sie
etwa in der Schule mit Hilfe der "zeitunabhängigen
Schrödinger-Gleichung" untersucht werden. Dort sind die
Erwartungswerte von Ort und Geschwindigkeit stets 0. Aber aus
beliebig vielen solchen stationären Zuständen könnte man den des
laufenden Wellenbergs "überlagern" (zusammensetzen). ) |
 |
Der Ausnahmefall: Ein schwingendes Quantenteilchen in einem
kohärenten Wellenpaket
(1) Ein klassisches Teilchen, auf das eine
auslenkungsproportionale Rückstellkraft wirkt, bewegt sich - in
einer anderen Sprechweise - in einem Parabelpotenzial, d.h. seine
potenzielle Energie ist proportional zum Quadrat der Auslenkung.
Das Teilchen schwingt dann harmonisch mit
einer bestimmten Frequenz f.
Ein Quantenteilchen kann zwar nicht gleichzeitig potenzielle und
kinetische Energie haben, auch nicht Gesamtenergie E und eine der
beiden Teilenergien (Komplementarität),
aber, wenn man die potenzielle Energie durch die Potenzialfunktion
gleicher Form ersetzt, kann man die Schrödinger-Gleichung nach
stationären Lösungen mit be-stimmter Gesamtenergie E
lösen. In solchen Zuständen ist der Erwartungswert der
Geschwindigkeit 0 und des Orts gleich der Ruhelage des klassischen
Teilchens. Für diese Energien gilt En = h·f·(n+ 1/2),
wobei n = 0, 1, 2, ... . Solche Zustände gibt es in der
klassischen Physik nicht. Die einzelnen Energiestufen
unterscheiden sich um ein "Schwingungsquant" h·f. Für den n-ten
Anregungszustand sind dann n Schwingungsquanten angeregt.
|
| (2) Man kann aber das Quantenteilchen - wenigstens im Prinzip -
auch in Wellenpakete mit einer vorgegebenen Breite Δx und Form
präparieren. Bei einem so genannten Gauß-Paket oszilliert
entsprechend dem Ehrenfest-Theorem für enge Wellenpakete der
Erwartungswert des Ortes wie bei einem klassischen Teilchen (rote
Punkte). Im Allgemeinen pulsieren aber auch Breite und Höhe des
Wellenpakets, es läuft auseinander und wieder zusammen, usw. Nur,
wenn man eine bestimmte Breite Δx = σ (siehe Abb. links) wählt,
bleiben Breite und Höhe bei dieser Bewegung unverändert. Das so
genannte Minimum-Wellenpaket bleibt beisammen, es ist "kohärent".
Das ist links gezeichnet.
Noch einmal:
I.A. ist dieser Zustand eines oszillierenden Wellenpakets
kein Zustand be-stimmter Energie, kein stationärer Zustand. Dort
sind die Erwartungswerte von Ort und Geschwindigkeit stets 0 (bzw.
gleich der Intervallmitte). Das Wellenpaket kann aber überlagert
werden aus beliebig vielen stationären Zuständen mit den Energien En
( n = 0, 1, 2, 3, ...).
( Wenn <n> der Erwartungswert für die Nummer des
Anregungszustands (der Anzahl der Schwingungsquanten) ist,
zeigt die Theorie eine Poisson-Verteilung
für die bei der Überlagerung beteiligten Zahl n der
Schwingungsquanten. (Es gilt: p(n) = <n>n/n!
exp(-<n>) ). Das soll hier nur ohne weitere Erklärung
erwähnt werden, weil diese Eigenheit auch in einigen anderen
Zusammenhängen auftritt. Es sind immer beliebig hohe
Anregungszustände beteiligt, aber nach dieser Poisson-Verteilung
tragen desto mehr wesentlich bei, je größer die Amplitude
der Schwingung ist. )
Mit zunehmender mittleren Anzahl <n> der
Schwingungsquanten steigt die Amplitude der links gezeichneten
Schwingung. Auch, wenn im Mittel (Erwartungswert) nur <n> =1
Schwingungsquanten angeregt sind, können verschiedene Messungen von
n im gleichen Zustand die Werte 0, 1, 2, 3, ... liefern, am
häufigsten jedoch 1.
Man kann sogar zeigen, dass für hohes <n> (aha!
Korrespondenz-Prinzip!) die klassische Energie des schwingenden
Teilchens mit der Energie En = h·f·(n+ 1/2)
desjenigen stationären Zustands des Quantenteilchens in guter
Näherung übereinstimmt, der am häufigsten beiträgt.
Wiederum: |
(3)
| Auch in solchen Zuständen streuen Messwerte für Ort und
Geschwindigkeit (Impuls) des Quantenteilchens. Aber die
Erwartungswerte von Ort und Geschwindigkeit verhalten sich
wie bei klassischen Teilchen.
Was wir über die Bewegung von Elektronen, Protonen
oder Ionen in der klassischen Physik gelernt haben, ist
häufig weiterhin gültig, aber nur für die
Erwartungswerte.
|
Das braucht uns in vielen Fällen nicht zu stören.
Aber noch etwas haben wir gesehen: Mit so einem Wellenpaket kann
man manchmal mögliche Messwerte recht gut beschreiben, wenn man
ein möglichst "klassisches Verhalten" von Quantenteilchen
untersuchen möchte. Aber ein Quantenteilchen ist kein
Wellenpaket. Insbesondere ist eine Lokalisierung (oder hier eine
ungefähre Lokalisierung) nicht charakteristisch für ein
Quantenteilchen. Es kann - nach einer Messung - kurzzeitig
lokalisiert sein. Im Allgemeinen ist das nicht der Fall.
Als eine spezielle Wellenfunktion
ist auch ein Wellenpaket nur zuständig
für die Vorhersage von Wahrscheinlichkeiten für zukünftige
Messwerte. Das Wellenpaket ist kein Gegenstand, der sich im uns
umgebenden Ansschauungsraum bewegt . |
Auch bei der Kreis- oder Spiral-Bewegung eines Elektrons im
Magnetfeld des Fadenstrahlrohrs gilt die Aussage:
| Die klassische Physik ist weiterhin richtig für die Erwartungswerte
von Ort und Geschwindigkeit. Der Streubereich für x und v spielt
in vielen Fällen eine vernachlässigbare Rolle. |
.
Quantenphysikalische Beschreibung einer klassischen
elektromagnetischen Welle - kohärente Zustände
Bei einer idealen klassischen elektromagnetischen Welle der
einheitlichen Frequenz f hängen elektrische und magnetische Feldstärke E
und B sinusförmig von Zeit und Ort ab. Diese Abhängigkeiten werden
durch eine "Phase" beschrieben. Beide Feldstärken E und B
und die Phase haben bestimmte Werte, auch, wenn wir sie evtl. nicht
kennen. Als eine solche Welle könnten wir etwa die Trägerwelle eines
Rundfunksenders ansehen oder eine (polarisierte) Lasermode.
Glauber konnte 1963 zeigen, wie eine solche ideale klassische
elektromagnetische Welle quantenphysikalisch zu beschreiben ist.
Wir können davon ausgehen, dass E und B ohne eine Messung
nicht be-stimmt sind, und, dass sie beide nie gleichzeitig be-stimmt sein
können. Messungen im gleichen Zustand werden dann i.A. für beide
Feldstärken streuende Werte ergeben, aber wir können erhoffen, dass unter
bestimmten Umständen (bei großen Messwerten) die Streuungen im Vergleich
zu den Erwartungswerten der Messgrößen wenig ausmachen.
Wenn es um Teilchenzahlen n ginge: Wenn <n> = 100 und Δn =
√n = 10 wären 10/100 = 10 % Abweichungen vom Erwartungswert
beträchtlich. Bei <n> = 1 000 000 und Δn = √n = 1000 wäre die
Streuung zwar absolut viel größer, aber würde nur 1 000/ 1 000 000 = 1
Promille vom Erwartungswert ausmachen, also schwer beobachtbar sein.
Glauber (Nobelpreis 2005) zeigte, dass zur Beschreibung
klassischer Wellen bestimmte "kohärente Zustände" mit
un-be-stimmter Photonenzahl n geeignet sind. Bei Messungen im jeweils
gleichen Zustand würden wir starke Streuungen der Photonenzahl n um einen
Erwartungswert <n> beobachten. In solchen Zuständen sind die
Amplituden und die Phasen von E und B un-be-stimmt. Aber,
unabhängig von der mittleren Photonenzahl <n> stellt sich heraus,
dass die Erwartungwerte der Feldstärken, <E> und <B>,
in gleicher Weise von Zeit und Ort abhängen wie bei einer klassischen
Welle. Außerdem sind die Erwartungswerte der Feldstärken proportional zu
√<n> (Wurzel n). Je größer also die Amplituden von <E>
und <B> sind, desto mehr Photonen tragen wesentlich zu den
Feldstärken bei. Das gilt auch z.B. für <n> = 1.
Für die Wahrscheinlichkeit, in einem solchen Zustand n Photonen zu
finden, gilt wieder die oben erwähnte Poisson-Verteilung.
Es gibt auch Zustände des elektromagnetischen Felds mit einer
be-stimmten Photonenzahl, z.B. n = 1. In all diesen Fällen sind aber die
Erwartungswerte der Feldstärken stets 0, ganz anders als bei der
klassischen Welle.
Es stellt sich weiter heraus, dass mit zunehmender mittleren
Photonenzahl <n> die Streuungen der Feldstärken und der Phasen immer
weniger ins Gewicht fallen. Die Welle eines Rundfunksenders enthält im
Mittel extrem viele Photonen geringster Energie. Sie wird durch die
klassische Physik wie durch die Quantenphysik in gleicher Weise perfekt
beschrieben. Ähnlich ist es mit einer Lasermode aus einem handelsüblichen
Laser.
Fassen wir zusammen:
|
- Ideale klassische elektromagnetische Wellen werden
quantenphysikalisch durch kohärente Zustände
beschrieben mit un-be-stimmter Photonenzahl.
- Die Erwartungwerte der Feldstärken E und B
hängen dann quantenphysikalisch und klassisch in gleicher
Weise von Ort und Zeit ab.
- Die Erwartungwerte der Feldstärken E und B
wachsen mit zunehmender mittlerer Photonenzahl <n>.
- Bei sehr großer mittlerer Photonenzahl <n> machen die
Streuungen von E und B und der Phase im
Vergleich zu den Erwartungswerten wenig aus. Dann sind
Unterschiede zwischen einem solchen kohärenten Zustand und
einer klassischen Welle kaum zu beobachten.
- (Zustände mit einer be-stimmten Photonenzahl, z.B. n = 1,
sind ungeeignet zur Beschreibung von klassischen
elektromagnetischen Wellen, auch wenn die be-stimmten
Photonenzahlen sehr groß sind.)
Was wir über klassische
elektromagnetische Wellen gelernt haben, ist weitgehend auch
in der Quantenphysik gültig, bezogen aber auf die
Erwartungswerte der Feldstärken (<E>
und <B>) und die Phase.
|
Aber die Quantenphysik hätte nicht ihre überragende Bedeutung
erlangt, wenn es nicht andere Situationen gäbe, wo sich Quantenobjekte
völlig anders "verhalten" als klassische Objekte.
.
Dekohärenz
Das Phänomen der Dekohärenz ist erst in den letzten Jahrzehnten entdeckt
worden. Die Frage ist, wie lange eine un-be-stimmte Messgröße un-be-stimmt
bleibt, ob sie nicht etwa "von selbst", ohne eine gewollte Messung, einen
be-stimmten
Wert erhält. Berühmt ist in diesem Zusammenhang die Schrödinger'sche
Katze, die sich mit einem Tötungsmechanismus in einem verschlossenen
Kasten angeblich in einem un-be-stimmten Zustand aus tot und lebendig
befinde. Gibt es Mechanismen, die die Katze bereits vor dem Öffnen des
Kastens in einen Zustand überführen, in dem sie be-stimmt "tot" oder
"lebendig" ist? Man hat dies an mikroskopischen Modellsystemen
experimentell untersucht . Danach tritt dieser Übergang tatsächlich ein,
bereits bei relativ kleinen Molekülzuständen in der unvorstellbar kurzen
Zeit von 10-23 s . Man nimmt an, dass die Ankopplung des
Modellsystems an die Umgebung mit Hilfe von niederenergetischen
Infrarot-Photonen, z.B., Grund für diesen Übergang von un-be-stimmt zu
be-stimmt, aber noch ungewiss, ist
(solange der "Kasten" noch nicht geöffnet ist; nach dem Öffnen wird der
Zustand sogar gewiss).
Eine ganz andere Frage ist, ob es Überlagerungszustände zwischen
Teilzuständen gibt, oder anders gesagt, ob es Zustände mit
un-be-stimmten Eigenschaften gibt. Das steht aber seit Etablierung der
Quantenphysik außer Zweifel.
Ich denke, man kann diese Erkenntnisse übertragen auf die Situation am
Doppelspalt, wo bei Interferenz un-be-stimmt ist, durch welchen Spalt das
Quantenteilchen hindurch getreten ist. Durch Dekohärenz könnte bei großen
Teilchen in kürzester Zeit ein Übergang in einen be-stimmten Zustand
erfolgen. Bereits große Quantenteilchen würden sich dann schon am
Doppelspalt wie klassische Teilchen verhalten, also keine Interferenz
zeigen.
.
Hinweise:
1) Die Floskel "in der Größenordnung"
ist nicht genau festgelegt. Es könnte einen Wert ungefähr zwischen 1/10
des angegebenen Wertes und dem 10-fachen bedeuten. Damit gibt man häufig
eine Faustregel an. Die Formulierung schließt nicht aus, dass mit
besonderen Tricks auch weit außerhalb des angegebenen Bereichs liegende
Werte zu guten Ergebnissen führen.
2) Der Erwartungswert
<x> oder Mittelwert einer Größe x entspricht dem statistischen
Mittelwert als Ergebnis sehr vieler Messungen der streuenden Größe x. Er
stimmt grob, aber nicht exakt, mit dem "wahrscheinlichsten Wert" für x
überein. Typisch für die Quantenphysik ist, dass manche Größen nicht
be-stimmt sind, dass sie erst durch eine Messung be-stimmt werden, und
dass sich bei dieser Messung (jeweils im selben Zustand) streuende
Messwerte in einem gewissen Bereich um <x> ergeben. Eine Faustregel
besagt: Grob 2/3 aller Messwerte findet man im Bereich von <x> - Δx
bis <x> + Δx.
*) Die Heisenberg'sche
Un-be-stimmtheitsrelation (HUR) besagt, dass man das Produkt Δx·Δv
bzw. Δx·Δp nicht unter eine Mindestgröße herunterdrücken kann. Wenn gilt
Δx·Δp = h/2 ( h = h/2 π ) liegt ein so
genanntes Minimumpaket vor.
**) "be-stimmt" wird hier - entgegen der
Duden-Vorschrift - mit Bindestrich geschrieben, wenn es die quantenphysikalische
Bedeutung haben soll, damit man es nicht mit dem
umgangssprachlichen "bestimmt" verwechselt.