^*) Bipolar bedeutet hier, dass die Spannung positive wie negative Werte haben kann. Viele Messinterfaces sind nur für die Messung nichtnegativer Spannungen ausgelegt. In diesem Fall braucht man eine Schaltung, die eine konstante Gleichspannung addiert, damit alle Spannungen im nichtnegativen Bereich bleiben ("Pegelanheber").

Gesetzmäßigkeiten: mathematischer Ausblick für Experten

Zur Zeit t = 0 werde der Schalter geschlossen, beginne also der Einschaltvorgang. Sehr viel später, zur Zeit t = t₁ , werde der Schalter wieder geöffnet. Für den Einschaltvorgang ist - mit dem Innenwiderstand R_i der Spule - der gesamte, vom Spulenstrom durchflossene Widerstand R = R_i + R₁.

Für den Einschaltvorgang gelte die Spannungsbilanz (bzw. entsprechend, die Maschenregel):

(1) U_B + U_ind = I·R

Mit dem Induktionsgesetz 

(2) U_ind = - L·dI/dt

wird daraus eine Differenzialgleichung (DGL):      ( aus Gl. (3):   dI/dt = U_B/L - I·R/L    also     dI/dt = U_B/L, wenn I = 0)

_{(entspricht Gl. (2b) in einem früheren Text)}

2. Ausschaltvorgang

Für den Gesamtwiderstand, der vom Spulenstrom durchflossen wird, gilt jetzt R' = R + R₂. Die DGL lautet (da in Gl (3) U_B auf 0 gesetzt wird):

1. t = 0:  I(t=0) = 0,  und  U_ind(t=0) = - U_B

2. t = t₁:  I( t₁) = I₁ und für sehr großes t₁:  I( t₁) = U_B/R  und  U_ind(t=>t₁) => 0

Ausschaltvorgang:

1. t = t₁:   I(t₁) =  I₁ = U_B/R   und    U_ind(t=t₁) = U_B · R'/R   (für sehr großes t₁: t₁ => ∞),

2. t => ∞: I(t => ∞) => 0        und    U_ind(t=> ∞) => 0

                I(t) = U_B /R · [1 - exp(-t/T)] .

Da exp(-t/T) => 0 für t => ∞ werden also die beiden festen Werte I(t=0) und I(t) = I₁ => U_B /R  für t => ∞ richtig beschrieben. Wir bestimmen T mit dem Induktionsgesetz: U_ind (t=0) = - L·dI/dt = - L/T·U_B/R. Da diese Spannung - U_B sein muss, ergibt sich T = L/R.

Die Probe mit der Spannungsbilanz bzw. der Maschenregel bestätigt endgültig unseren Ansatz. Für die Induktionsspannung im Laufe der Zeit erhalten wir: U_ind (t) = - L·dI/dt = - L/T·U_B/R · exp(-t/T) wobei T =  L/R, also

                U_ind (t) = -U_B exp(-t/T)       mit     T = L/R.

Für t => ∞ strebt also  U_ind (t) => 0, für t = 0 ist U_ind (t) = -U_B.

Ähnlich machen wir für den Ausschaltvorgang (t >= t₁) den Ansatz:

                I(t-t₁) = U_B/R · exp[-(t-t₁)/T'] 

(der Startwert bei t = t₁ ist wegen der Stetigkeitsbedingung I(t=t₁) = U_B /R. Für t >> t₁ strebt I(t) => 0. Der Ausschaltvorgang beginnt zur Zeit t = t₁. Alle weiteren Zeiten sind auf diesen Zeitpunkt bezogen; deswegen die Differenz t-t₁.)

Es gilt dI/dt = - I(t)/T' . Dieser Strom muss durch den Gesamtwiderstand R'  fließen; deswegen die geänderte Zeit T'. Aus der Spannungsbilanz erhalten wir

               U_ind =  I·R' 

= - L·dI/dt = + L/T'·I, also T' = L/R' und U_ind =  U_B/R · R' · exp[-(t-t₁)/T'] , also

                U_ind =  U_B· R'/R · exp[-(t-t₁)/T']      mit        T' = L/R'

und für t = t₁ : U_ind(t₁) = U_B R'/R > U_B. Wegen des positiven Vorzeichens ist das eine "Mitspannung", die wegen  R' > R die Betriebsspannung übersteigt. U_ind und  I sind zueinander proportional und haben also die gleiche Zeitabhängigkeit.

II b) Löse die Differenzialgleichung (DGL) mit einem Standardverfahren

1. Einschaltvorgang

Zur Zeit t = 0 werde der Schalter geschlossen, beginne also der Einschaltvorgang. Sehr viel später, zur Zeit t = t₁ , werde der Schalter wieder geöffnet. Für den Einschaltvorgang ist - mit dem Innenwiderstand R_i der Spule - der gesamte, vom Spulenstrom durchflossene Widerstand R = R_i + R₁.

Für den Einschaltvorgang gilt die Differenzialgleichung (DGL):

( 3)   I·R + L · dI/dt = U_B        

Weil U_B ≠ 0, handelt es sich um eine lineare inhomogene DGL für I mit konstanten Koeffizienten. Sie hat beliebig viele Lösungen (die so genannte "allgemeine Lösung"). Die Anfangsbedingung I(t=0) = 0 wählt davon eine bestimmte aus. Nach der Theorie der linearen DGL erhält man die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL als Summe einer beliebigen speziellen Lösung der inhomogenen DGL und der allgemeinen Lösung der homogenen DGL:

(3') I·R + L · dI/dt = 0.

Sie wird z.B. gelöst durch den Ansatz I(t) = A·exp(-t/T), also auch dI(t)/dt = - I(t)/T, daraus

(3")  I(t)·R - L·I(t)/T = 0 . Weil dies für alle Zeiten t gelten soll, muss 1/T = R/L bzw. T = L/R sein. Variiert man A, erhält man alle Lösungen der homogenen DGL.

Eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL kann erraten werden, z.B. I = U_B/R. Damit also

(4)   I(t) = A·exp(-t/T) + U_B/R .

Jetzt wendest du die Anfangsbedingung an: I(t=0) = A + U_B/R = 0. Also A = - U_B/R . Damit erhältst du

(4')   I(t) = U_B/R · [1 - exp(-t/T)]   ,            wobei T = L/R.

Diese Lösung genügt allen unseren Überlegungen:

Für t = 0 verschwindet die Stromstärke: I(t=0) = 0  . Für t => ∞ nähert sie sich asymptotisch dem Maximalwert I₁ = U_B/R .  Die Spitzen-Induktionsspannung bei t = 0 ist U_ind = - U_B (nach Gl. 1).  Bei t = 0 haben U_{ind und} U_B  unterschiedliches Vorzeichen: U_ind ist eine Gegenspannung zu U_B.  

2. Ausschaltvorgang

Für den Gesamtwiderstand, der vom Spulenstrom durchflossen wird, gilt jetzt R' = R + R₂. Die DGL lautet

(3')   I·R'+ L · dI/dt = 0  .

Es ist eine lineare homogene DGL mit konstanten Koeffizienten, die mit der Anfangsbedingung I(t = t₁) = I₁ = U_B/R zu lösen ist, weil die Stromstärke keine Sprünge macht (Stetigkeitsbedingung).

Der Ansatz I(t) = A·exp(-t/T') führt ähnlich wie früher auf T' = L/R', diesmal aber mit dem vergrößerten Gesamtwiderstand R'. A erhältst du durch die Anfangsbedingung

I(t = t₁) = A·exp(-t₁/T') =  U_B/R , also  A = U_B/R · exp(t₁/T'). Es folgt

I(t) = U_B/R  · exp(t₁/T') · exp(-t/T') = U_B/R · exp[-(t-t₁)/T']   für t ≧ t₁

Für t = t₁ folgt also der Anfangswert I(t = t₁) = I₁ = U_B/R , für t => ∞ fällt I(t) exponentiell gegen 0. Weil dI/dt = - I(t)/T' folgt für die Induktionsspannung U_ind = - L · dI/dt = - U_B · R'/R · exp[-(t-t₁)/T']   für t ≧ t₁, und also die Spitzenspannung für t = t₁:

U_ind(t = t₁) = - U_B · R'/R_.

U_ind und U_B haben unterschiedliches Vorzeichen. Weil R' > R, übersteigt der Betrag von U_ind den von U_B. Der Exponentialfaktor exp(-t/T') mit T = L/R' lehrt, dass für den Ausschaltvorgang U_ind schneller auf 0 abfällt als U_ind für den Einschaltvorgang auf U_B anwächst (T' < T).

II c) Was ist das für eine Zeit T = L/R bzw. T' = L/R'?

Beim Einschaltvorgang gilt  dI/dt = U_B/L - I·R/L, also dI/dt = U_B/L, wenn I = 0 bzw. für t = 0: dI(t=0)/dt = U_B/R · R/L = U_B/R · 1/T. Das ist die Anfangssteigung der t-I-Funktion. Für die Tangente im Nullpunkt gilt also

                I = U_B/R · t/T.

Die Tangente erreicht den Sättigungsstrom U_B/R bei t = T. Damit haben wir die Deutung von T:

T = L/R wird "charakteristische Zeit für den Einschaltvorgang" (manchmal auch Zeitkonstante) genannt, weil sie ein Maß dafür ist, wie schnell die Stromstärke ansteigt. Sie hängt von der Induktivität L und dem Gesamtwiderstand R des Zweigs ab, in dem der Spulenstrom fließt. Sie kann dazu dienen, für ein Experiment eine günstige Kombination von L und R auszuwählen, aber auch zur Messung von L.

Ganz entsprechend gilt beim Ausschaltvorgang dI(t)/dt = - I(t)/T' , und bei t = t₁:   dI(t)/dt = - U_B/R · 1/T'.

Ganz entsprechend gilt beim Ausschaltvorgang dI(t)/dt = - I(t)/T' , und bei t = t₁:   dI(t)/dt = - U_B/R · 1/T'.

T' ist - ausgehend vom Sättigungsstrom UB/R - diejenige Zeit, nach der die Stromstärke den Strom 0 erreichen würde, wenn sie sich längs der Tangenten zum Zeitpunkt des Schalteröffnens verändern würde.

T' = L/R' wird "charakteristische Zeit für den Ausschaltvorgang" genannt, weil sie ein Maß dafür ist, wie schnell die Stromstärke von ihrem Maximalwert abfällt. Sie hängt von der Induktivität L und dem Gesamtwiderstand  R' des Zweigs ab, in dem der Spulenstrom fließt. T' =  L/R' < T = L/R, weil R' = R + R' > R_.

Der Strom fällt beim Ausschalten schneller ab, als er beim Einschalten ansteigt.

Dass T' mit zunehmender Induktivität L wächst, passt zur Überlegung, dass bei größerem L mehr magnetische Energie in der Spule gespeichert werden kann. T' fällt mit zunehmendem Gesamtwiderstand R'. Das passt gut dazu, dass mit zunehmendem Gesamtwiderstand R' die magnetische Energie schneller "aufgebraucht" wird.

Aus dem t-I-Diagramm lassen sich so T und T' leicht graphisch entnehmen (Abb. 6) links mit dem Ergebnis T = 0,002 s und T' = 0,001 s).

Warnung: Es gibt im Internet so genannte "Erklärvideos" von Firmen, deren Autoren die Vorgänge bei der Selbstinduktion nicht verstanden haben. Lass' dich von ihnen nicht in die Irre führen. So kannst du kein Einserschüler werden! Man hat den Eindruck, dass es solchen Firmen mehr darum geht, Werbung unterzubringen.

Hinweis zu einer modifizierten Untersuchung mit einer Rechtecksspannung aus einem Funktionsgenerator (FuGe)