Betrachten Sie die physikalische Größe Impuls P. Führen wir eine Impulsmessung durch, so gibt es zwei Möglichkeiten:

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1. Das System befinde sich in einem Zustand mit be-stimmtem Impuls p,  d.h. das System besitzt tatsächlich den Impuls p als Eigenschaft (es befindet sich also in einem Impuls-Eigenzustand, der mit |p> symbolisiert wird).

• Dann erhalten wir als Messwert den be-stimmten Impuls p und den unveränderten Zustand |p> .

  Symbolisch wird das so ausgedrückt P |p> = p |p>- die Messgröße P also in Großbuchstaben, der Messwert  p in Kleinbuchstaben. Das Symbol |p> kennzeichnet den Zustand des Systems, hier einen Eigenzustand zur Messgröße P.  Der Messvorgang wird beschrieben als "Anwendung der Messgröße P auf den Zustand |p> ". Offiziell heißt P Impuls-"Operator".

• Führen wir eine zweite Impulsmessung durch, bevor sich der Zustand durch äußere Einflüsse verändert hat, erhalten wir (im Idealfall ^*) ) wieder den Impuls p als Messwert und |p> als Zustand: Ein Messergebnis ist reproduzierbar. Dann gilt z.B. auch  P²|p> = P P|p> = P p |p> = p² |p>, oder auch P²/2m |p> = p²/2m |p>. In einem solchen Zustand ist also auch die kinetische Energie be-stimmt.

2. Wir führen die Messung an einem Zustand |ψ> durch, der keinen Impuls als Eigenschaft besitzt, bei dem der Impuls un-be-stimmt ist.

• Dann erhalten wir bei der Impulsmessung einen beliebigen der möglichen Impulseigenwerte, p' etwa, bei unterschiedlichen Messungen in der Regel immer einen anderen. Aus dem ursprünglichen Zustand |ψ> entsteht mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit der Impulseigenzustand zum Messwert p', also |p'>.

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Formal lässt sich |ψ> als Überlagerung von Impulseigenzuständen |p'i> auffassen gemäß |ψ> =  Σi ci |p'i> Die Summe Σi läuft dabei über alle möglichen Impulseigenzustände. Die obige verbale Beschreibung des Messvorgangs lässt sich dann folgendermaßen symbolisch darstellen:  P |ψ> = P ( Σi ci |p'i> ) = Σi p'i ci |p'i> also P |ψ> = Σi p'i ci |p'i>. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Messung p'i  und der Zustand |p'i> entsteht ist dann gerade |ci|2. Eine unmittelbar folgende zweite  Messung liefert dann (im Idealfall) den gleichen Messwert und den gleichen Zustand |p'i>, also  P2 |ψ> = Σi  ci   p'i 2 |p'i>.

Ähnlich sind die Verhältnisse bei beliebigen Messgrößen A, die be-stimmte Eigenwerte a liefern, wenn das System a als Eigenschaft besitzt (sich bzgl. A in einem Eigenzustand befindet), oder einen der möglichen Eigenwerte a'_i, wenn das System die Eigenschaft a nicht besitzt, wenn A also un-be-stimmt ist. Der Eigenwert a'_i tritt dann bei einer Messung mit einer gewissen von 1 verschiedenen Wahrscheinlichkeit ein.

^*) Die meisten realen Messungen absorbieren oder vernichten allerdings bei der Messung das Teilchen, dessen Impuls gemessen wird. Sie stellen also keine idealen Messungen im Sinne der Quantenphysik dar, wie das für die Polarisation in Kapitel I.5 dargestellt wird. Man weiß heute aber, wie man im Prinzip solche idealen Messungen durchführen könnte. (Vgl. Knaller-Test mit einer im Prinzip "störungsfreien Welcher-Weg-Messung" oder auch das Prinzip-Experiment von Scully, Englert und Walther)

(Dezember 2013: Zeichensatz geändert)