Grundfakten der Quantenphysik        Horst Hübel 2005 - 2009

Aussage

Folgerung und Fortführung

Präambel /

Grundfaktum 0:

Klassisch denkbare Eigenschaften

Die Physik darf nur Aussagen machen über Dinge, die durch reale Messungen überprüfbar sind.

Dazu braucht man reale Messgeräte, also makroskopische Geräte. Mit Messgeräten kann aber prinzipiell nur nach Messgrößen bzw. Begriffen gefragt werden, die außerhalb der atomaren Größenordnungen bewährt sind, also z.B. nach Ort und Geschwindigkeit eines Teilchens, so als ob es ein makroskopisches Teilchen wäre.

Wir sprechen von klassisch denkbaren Eigenschaften^**).

Grundfaktum I:

Be-stimmte und un-be-stimmte Eigenschaften

Ia Nichtexistenz ^*)  aller klassisch denkbaren Eigenschaften gleichzeitig und Komplementarität

Ib Messbarkeit aller klassisch denkbaren Eigenschaften

Ic unvermeidbarer Eingriff einer Messung

Id objektive Un-be-stimmtheit einer Eigenschaft vor einer Messung

(=> HUR)

Es gibt in der Mikrophysik keine Objekte, die alle klassisch möglichen ("klassisch denkbaren") Eigenschaften klassischer Objekte zugleich haben.^*)

Z.B. gibt es kein Objekt, das zugleich Ort und Geschwindigkeit (Impuls) hat. Eigenschaften eines Objekts , die nicht zugleich existieren, kann man auch nicht gleichzeitig messen.

Zwei Eigenschaften, die ein Quantenobjekt nicht zugleich haben kann, heißen komplementäre Eigenschaften.

Ib Jede klassisch denkbare Eigenschaft erhält durch eine Messung einen physikalischen Sinn^****)

Man kann jede einzelne von allen klassisch denkbaren Eigenschaften messen. Durch eine solche Messung erhält die betreffende Eigenschaft einen physikalischen Sinn. Man sagt, die betreffende Eigenschaft ist durch die Messung be-stimmt worden. Das System besitzt dann die betreffende Eigenschaft.

Ic Durch eine solche Messung werden früher gewonnene Informationen über andere komplementäre Eigenschaften des Objekts ungültig (physikalisch sinnlos). Die betreffenden Eigenschaften sind jetzt un-be-stimmt geworden.

Eine solche Messung verändert also i.A. den Zustand des Quantenobjekts; sie stellt einen unvermeidbaren Eingriff des Messgeräts in das Objekt dar, indem sie eine vorher i.A. nicht vorhandene (un-be-stimmte) Eigenschaft zu einer tatsächlichen (be-stimmten) Eigenschaft macht.

Id objektive Un-be-stimmtheit einer Eigenschaft vor einer Messung:

Vor einer Messung hat es i.A. keinen (physikalischen) Sinn, zu behaupten, dass ein Objekt die entsprechende Eigenschaft habe oder nicht habe. Die Eigenschaft entsteht in der Regel erst durch die Messung.

Misst man eine von zwei komplementären Messgrößen, so wird in jedem Fall ein be-stimmter Messwert dieser Messgröße festgelegt. Die zweite dazu komplementäre Größe ist dann beliebig un-be-stimmt, ganz gleich, welche Informationen vorher über sie vorlagen.

Hat man aber noch keine Messung vorgenommen, kennt aber den Zustand des Systems, dann kann man für beide Größen Bereiche erhöhter Wahrscheinlichkeit angeben, in denen Messwerte vornehmlich eintreten werden. Man sagt dann, dass die betreffenden Messgrößen jeweils eine diesem Bereich entsprechende Un-be-stimmtheit besitzen. Zeilinger formuliert das sinngemäß so: "Die Natur hat sich noch nicht (für genaue Werte) festgelegt".

Die HUR ist eine notwendige Konsequenz nicht-gleichzeitig-messbarer Messgrößen, d.h., wenn  die Messwerte zweier Messgrößen nicht gleichzeitig Eigenschaften des Systems im betrachteten Zustand sind, dann gilt für sie zwangsläufig eine HUR.

Die Gesamtheit aller möglichen Meßwerte spiegelt dennoch objektive, d.h. vom Beobachter unabhängige, Eigenschaften des untersuchten Systems wieder

Zu den Eigenschaften, die ein Quantensystem i.A. ohne eine Messung nicht hat, die also ohne eine Messung objektiv un-be-stimmt sein können, gehört auch die Teilchenzahl.

Grundfaktum II:

  Mögliche gesetzmäßige Aussagen zu Messungen

IIa: Vorrat von möglichen Messwerten

IIb: objektiver Zufall

IIc: objektive Wahrscheinlichkeit

Sicher nicht vorhersagbar sind die (nicht vorhandenen gleichzeitigen) Eigenschaften solcher Objekte.

IIa Gesetzmäßig festgelegt ist der Vorrat von möglichen Messwerten für eine bestimmte Messgröße bei einem bestimmten System (einer bestimmten Versuchsanordnung).

IIb Welcher Messwert eintritt, ist dann, wenn das System die betrachtete Eigenschaft nicht hat, also bei objektiver Un-be-stimmtheit der Messgröße, objektiver Zufall.

Wenn das System die Eigenschaft tatsächlich besitzt, ergibt sich stets der gleiche Messwert.

IIc Gesetzmäßig festgelegt ist auch die Wahrscheinlichkeit,  mit der ein bestimmter Messwert aus diesem Vorrat eintritt, wenn das System in einem bekannten Zustand ist. Deshalb spricht man von "objektiver Wahrscheinlichkeit".

Es gibt Verfahren, wie die Schrödinger-Gleichung für Zustände mit einer be-stimmten Teilchenzahl, die gesetzmäßig die "objektive Wahrscheinlichkeit" für das Eintreten (Herstellen) be-stimmter Eigenschaften bei einer Messung beschreiben.

Grund für objektive Wahrscheinlichkeiten und objektiven Zufall ist nicht Unkenntnis (wie z.B. in der Thermodynamik), sondern das Fehlen von Eigenschaften (GF Ic) oder von gleichzeitigen Eigenschaften (GF Ia).

Dazu gibt es verschiedene Verfahren, z.B. auf der einen Seite ("Schrödinger-Bild", häufig eingesetzt für Zustände mit be-stimmter Teilchenzahl)

• das Berechnen von Wellenfunktionen nach der Schrödinger-Gleichung,
• der Zeigerformalismus,
• Pfadintegrale,
• Feynman-Diagramme, ...

und auf der anderen Seite ("Heisenberg-Bild", auch eingesetzt für Zustände mit un-be-stimmter Teilchenzahl)

• die Berechnung von Erwartungswerten und anderen statistischen Größen mittels der Heisenberg-Gleichung,
• Feynman-Diagramme
• und viele mehr

Eine typische Aussage für den Zusammenhang zwischen Formalismus und Wahrscheinlichkeit (hier im Rahmen der Schrödinger-Theorie für 1 Teilchen) ist z.B. die Bornsche Wahrscheinlichkeitsdeutung:

Das Betragsquadrat der "Wellenamplitude" oder der Zeigerlänge an einem Ort x ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in einem Raumelement DV um den bestimmten Ort x zu finden.

Grundfaktum III:

 Fähigkeit zur Interferenz -  Interferenz von Möglichkeiten

Interferenz ist eine Folge der Konkurrenz von nicht unterschiedenen klassisch denkbaren Möglichkeiten.

Betrachten wir z.B. Zustände mit einer be-stimmten Teilchenzahl, z.B. mit einem Teilchen. Für den Doppelspalt würde man klassisch erwarten, dass ein Teilchen durch den einen Spalt (A) oder durch den anderen (B) läuft. Diese beiden Möglichkeiten interferieren, wenn zwischen ihnen nicht durch eine Messung unterschieden^*)  wird.

^*) "nicht unterschieden" heißt in diesem Zusammenhang nicht nur, dass irgend jemand eine solche Entscheidung bewusst (noch) nicht getroffen hat. Es heißt, dass die vorliegende Anordnung eine solche Entscheidung nicht zulässt. Deswegen sprechen andere Autoren lieber von "nicht unterscheidbar". Für diesen Sprachgebrauch spricht viel. Wenn man allerdings die Anordnung abändert, können auch in diesem Sinn "nicht unterscheidbare" Möglichkeiten unterscheidbar werden, wie beim Doppelspalt.

So verschwindet die Interferenz beim Doppelspalt oder beim Mach-Zehnder-Interferometer, wenn man die Anordnung so umbaut, dass eine "Welcher-Weg-Information" gewonnen wird. Die beiden Weg-Möglichkei- ten sind dann nämlich unterscheidbar.

Der Schritt von der verbalen "Interferenz der Möglichkeiten" zur mathematischen Konkretisierung und Berechnung von Wahrscheinlichkeiten wurde in FuF II angedeutet.

Grundfaktum IV:

Der Messvorgang ("Das Messpostulat")

IVa Alle makroskopisch denkbaren Eigenschaften sind messbar

IVb Messergebnisse sind reproduzierbar

IVc Eigenwerte als Gesamtheit der möglichen Messergebnisse

IVd Überlagerungs- oder Superpositionsprinzip

IVe Existenz von diskreten Messwerten

Die Natur antwortet auf alle an sie in einer Messung gestellten Fragen, die in der Regel im Sinne von klassischen makroskopischen Eigenschaften gestellt werden, mit eindeutigen Messwerten.

IVb Messergebnisse sind reproduzierbar

Bestimmt man eine Messgröße an ein und demselben Quantenobjekt unmittelbar aufeinander folgend zweimal, so erhält man jeweils den gleichen Messwert, wenn in der Zwischenzeit keine Veränderung des Systems eingetreten ist. Nach einer ersten Messung besitzt das System die betreffende Eigenschaft. Man erhält in diesem Fall reproduzierbare Messergebnisse.

IVc Eigenwerte zu einer Messgröße bilden die Gesamtheit ihrer möglichen Messwerte.

Erhält man bei gleich präparierten Zuständen immer den gleichen Messwert a zu einer bestimmten Messgröße, z.B. A, so wurde das System in einem Eigenzustand zur betreffenden Messgröße präpariert. Das System hat dann diesen Messwert als Eigenschaft. Eine Folge ist  auch GF IVb.

Die zu den Eigenzuständen gehörigen Eigenwerte a stellen für die jeweilige Versuchsanordnung und Messgröße die Gesamtheit der möglichen Messwerte dar.

Andere Messwerte können dabei nicht eintreten.

IVd Überlagerungs- oder Superpositionsprinzip

Nach einer Messung der Messgröße A befindet sich das System in einem Eigenzustand zur betreffenden Messgröße A mit  einem be-stimmten Messwert a.^*)

(Unmittelbar folgende Messungen liefern dann immer den gleichen Messwert a.)

Bezüglich einer zur Messgröße A komplementären (nicht-kommensurablen) neuen Messgröße C befindet sich dieses System dann gleichzeitig in einem Überlagerungszustand, der sämtliche klassisch denkbaren Möglichkeiten für die neue Messgröße C beschreibt.

Bei einem  Überlagerungszustand  tragen die verschiedenen Möglichkeiten für die neue Messgröße C alle zum Zustand bei, sie "überlagern sich".  

Das zugrundeliegende Prinzip ist das Überlagerungs- oder Superpositionsprinzip.

In einem solchen - durch die erste Messung (A) entstandenen - Eigenzustand mit einem be-stimmten Messwert a ist die zur neuen Messung gehörige komplementäre Größe C un-be-stimmt. Die Natur hat sich dann noch nicht für einen Messwert c der Messgröße C entschieden.

Überlagerungs-Zustände bzgl. einer un-be- stimmten Größe C können zur Interferenz (GF III) führen, weil die verschiedenen Beiträge zum Überlagerungszustand (noch) nicht unterschiedene Möglichkeiten für die Messwerte c darstellen

IVe Existenz von diskreten Messwerten

Neben kontinuierlich verteilten Messwerten gibt es, z.B. bei "gebundenen Systemen" bzw. bei bestimmten Randbedingungen, also für eine bestimmte Versuchsanordnung, genau festgelegte diskrete Messwerte (als Eigenwerte a einer bestimmten Messgröße A).

Das Auftreten diskreter Messwerte (z.B. Energie"quanten") gab ursprünglich der ganzen Theorie den Namen: "Quanten"-Theorie.

GF III könnte dann auch so formuliert werden:

Interferenz ist eine Folge überlagerter Zustände infolge un-be-stimmter Messgrößen.

Ein Teilchen in einem  Potentialkasten oder Atom kann in einem "stationären" Zustand sein, d.h. in einem Eigenzustand der Energie. Impuls und Ort sind dann un-be-stimmt.

Es könnte auch in einem Zustand sein mit un-be-stimmter Energie. Wiederholte Energiemessungen würden dann unterschiedliche Messwerte für die Energie liefern. Ein solcher Zustand ist z.B. ein Wellenpaket, das ein hin- und her laufendes Teilchen beschreibt.

Eine Schwingungsmode eines Lasers entspricht einem Zustand mit un-be-stimmter Photonenzahl und damit auch un-be-stimmter Energie. Wiederholte Messungen der Photonenzahl würden unterschiedliche Werte liefern.

Ähnlich gibt es BEC-Zustände mit un-be-stimmter Zahl von Atomen umgeben von einem Gas nicht dem Kondensat angehörender Atome.

^*) Damit ist auch IVa) verständlich: Durch die erste Messung wurde ein Eigenzustand hergestellt, wenn sich das System noch nicht in einem Eigenzustand befand. Durch die nachfolgende zweite Messung wird wieder der gleiche Eigenwert geliefert.

Grundfaktum V:

  Quantenmechanische Nichtlokalität  

bzw.

"Fernwirkungslosigkeit"

Stellt man z.B. durch eine Messung an einem Zweiteilchen-System für eines der Teilchen die zugehörige Eigenschaft (im Beispiel also den Impuls p₁) fest, so wird gleichzeitig instantan - festgelegt durch die Eigenschaft des Gesamtzustands - auch für das zweite Teilchen die betreffende Eigenschaft (im Beispiel sein Impuls p₂) be-stimmt, auch wenn beide Teilchen Lichtjahre voneinander entfernt beobachtet werden.

Dabei handelt es sich also nicht um eine instantane Wechselwirkung über die Entfernung hin, sondern ausschließlich um die Auswahl / Realisierung einer der möglichen Paarkombinationen, die zum Gesamtzustand beitragen können.

Anmerkungen

(Vertreter einer bestimmten Interpretation der Quantenphysik, der "Theorie der Verborgenen Variablen", die aber möglicherweise nicht haltbar ist, würden die Behauptung von der Nichtexistenz ohnehin ablehnen.)

Vorsichtiger  würde man statt von Nichtexistenz eher von der "nicht gleichzeitigen Messbarkeit" sprechen. Eigenschaften, die nicht gleichzeitig messbar sind, heißen auch nicht-kommensurabel. So kann man es in den meisten Quantentheorie-Büchern lesen.

In der langen Zeit seit der Etablierung der Quantentheorie ist aber bei vielen Physikern doch die Überzeugung gewachsen, dass es die bisher nie nachgewiesene gleichzeitige Existenz von bestimmen Eigenschaften tatsächlich nicht gibt.

Deshalb und aus didaktischen Gründen - weil so ein Verständnis leichter erscheint - wurde hier die strengere Formulierung von der "Nichtexistenz" gewählt.

^**) Die Formulierung "klassisch denkbare Eigenschaften" habe ich von Küblbeck und Müller übernommen. Sie scheint mir die Situation treffend zu charakterisieren.

^***) Die Grundfakten Ib und IVa überschneiden sich. Sie wurden dennoch getrennt formuliert, weil die Aspekte unterschiedlich sind: Bei Ib geht es eher darum, wie Eigenschaften einen physikalischen Sinn erhalten, bei IVa eher um die Beruhigung, dass alle klassisch denkbaren Eigenschaften messbar sind.

^****) Mit "physikalischem Sinn" ist gemeint, dass es erst nach einer Messung sinnvoll ist, physikalische Aussagen über und mit der betreffenden Eigenschaft zu machen.