Wie erhalten wir die Gesetzmäßigkeit für die kinetische Energie?

SG101 Wie erhalten wir die Gesetzmäßigkeit für die kinetische Energie?

^© H. Hübel Würzburg 2013

Kinetische Energie eines Körpers ist der Anteil seiner Energie, der mit der Bewegung zusammenhängt. Wie sie von der Geschwindigkeit des Körpers abhängt, findet man in einem Experiment:

Man beschleunigt den Körper aus der Ruhe durch eine konstante Kraft längs einer Strecke s. Dann kennt man also die Verschiebungsarbeit W, die jetzt als kinetische Energie im Körper gespeichert sein muss. Misst man nach dieser Beschleunigung die Geschwindigkeit v, dann kennt man den Zusammenhang von E_kinund v. Es stellt sich heraus, dass E_kinprop. v² ist, doppelte Geschwindigkeit führt also zu vierfacher kinetischer Energie. Zwei gleiche Körper der Masse m entsprechen einem Körper der doppelten Masse, bei gleicher Geschwindigkeit also der doppelten kinetischen Energie: kinetische Energie und Masse sind zueinander proportional. Insgesamt gilt:

E_kin= m/2·v^{2
=}p²/2·m

Experimentelle Untersuchung der kinetischen Energie E_kin

Das Prinzip besteht darin, dass bekannte Lageenergie E_L möglichst verlustlos in kinetische Energie umgewandelt wird.

a) Das könnte auf der Luftkissenfahrbahn geschehen, indem eine Antriebsmasse m beim Fall einen Gleiter mit der Masse M beschleunigt. Die kinetische Energie steckt dann in beiden Massen, also

E_kin= (M+m)/2 v² = m·g·h

Die Geschwindigkeit v wird mit einer Lichtschranke gemessen.

b) Weniger Aufwand erfordert ein Schülerversuch: Eine bifilar aufgehängte Masse (hier ein gefülltes Filmdöschen) wird in einer bestimmten Starthöhe h über dem Lichtstrahl losgelassen. Beim Unterbrechen des Lichtstrahls wird vom PC die Geschwindigkeit gemessen (2. leider etwas verdecke Zeile auf dem Bildschirm; verwendet wird z.B. das Programm VTLICHT vom Autor). Vorausgesetzt ist, dass die Lichtschranke wirklich am Tiefstpunkt der Pendelmasse steht.

Man findet so schnell: Doppelte Starthöhe (doppelte Lageenergie) => keineswegs doppelte Geschwindigkeit, aber bei vierfacher Starthöhe (vierfache Lageenergie) => doppelte Geschwindigkeit. Also geht die Geschwindigkeit quadratisch in die Gesetzmäßigkeit der kinetischen Energie ein.

Genauere Überprüfung zeigt z.B.: Doppelte Starthöhe (doppelte Lageenergie) => √2-fache Geschwindigkeit, etc.

Die Proportionalität zur Masse erfolgt durch eine Überlegung: Ein Körper mit der doppelten Masse entspricht zwei gekoppelten Körpern mit der einfachen Masse. Beim Beschleunigen erhält jeder die einfache kinetische Energie, beide zusammen also die doppelte.

Auch theoretisch ist eine Herleitung möglich: Nach der Beschleunigungsstrecke s = a/2·t² hat der Körper bei einer konstanten Beschleunigung a (und Kraft) die Geschwindigkeit v = a·t erreicht. Also gilt v² = a² · t² = a²·2s/a = 2·s·a = 2· s· F/m = 2· W/m. Es wird also die Arbeit W = m/2·v² verrichtet, die als kinetische Energie im Körper gespeichert ist.

Erzeugt man die konstante Kraft durch die Gewichtskraft auf eine Antriebsmasse, die über eine Umlenkrolle am Körper zieht, muss man berücksichtigen, dass auch diese Antriebsmasse beim Beschleunigen einen Teil der kinetischen Energie aufnimmt.