In beiden Feldern gilt für den Betrag der Kraft auf einen Probekörper (der Masse m bzw. der Ladung q) F prop. 1/r² bzw. F = k/r² .

Betrachte einen Planeten, der einen Zentralkörper umkreist. Auf einer Kreisbahn mit dem Radius r gilt bei einer Kreisfrequenz ω = 2·π·f:

(1) a = ω²·r  = v²/r

Daraus folgt die kinetische Energie

(2) E_kin = m/2 · v² =  m/2 · a·r = F/2·r        ( F = m·a ist die Kraft, mit der der Planet an der Stelle r vom Zentralkörper angezogen wird).

Andererseits gilt für die potenzielle Energie beim Radius r (gleich der Verschiebungsarbeit vom Unendlichen bis zum Radius r):

(3) E_pot = - F·r    (das ließe sich wie unten durch eine Integration zeigen)

also

(E_pot ist negativ, weil die beiden Körper aneinander gebunden sind; E_kin ist wie in allen Fällen nichtnegativ). Da auch für den Fall eines Coulombfelds eine Kraft vom gleichen Typ vorliegt, gilt diese Beziehung auch hier. Sie erleichtert viele Berechnungen im Coulombfeld oder Gravitationsfeld, z.B., wenn die Bahngeschwindigkeit eines Satelliten in einer bestimmten Flughöhe angegeben werden soll.

Die Gesamtenergie E =  E_pot + E_kin =  -  E_kin  = 1/2·E_pot ist also negativ, wie es für einen Planeten oder ein gebundenes Teilchen sein muss; ihm fehlt ja die Energie, mit der es abgelöst werden könnte.

Nachweis für E_pot = - F·r:

Um eine Masse m von einem sehr großen Radius R an eine Stelle mit dem Radius r' heranzuführen, verrichtet das Feld die Arbeit

W = - ∫ (von R bis r') F·dr   (Minuszeichen, weil Kraft F und Integrationsrichtung - dr - entgegengesetzt). Diese Arbeit wird bei der Verschiebung frei, also

E_pot = - W

= k · ∫  1/r² dr         jeweils in den Grenzen von R bis r'

= k ( - 1/r ) | von R bis r'

= - k (1/r' - 1/R)

lässt man jetzt R => Unendlich gehen, entsteht

E_pot = - k/r'

An der Stelle r' wirkt aber die Kraft F = k/r'² (Betrag) und es gilt E_pot = - F·r' < 0

(im Text oben muss statt r' wieder r geschrieben werden).

Wenn man weiß, dass im Gravitationsfeld einer Masse M mit F = k/r² gilt: E_pot = - k/r , folgt die Aussage schneller: F = - E_pot /r  .

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( Juni 2014 )