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Wo begegnen sich klassische Physik und Quantenphysik?

Oder müssen wir die klassische Physik ganz vergessen?

© H. Hübel Würzburg 2013

Empfohlene Glossarthemen:

Quantenteilchen

Wellenfunktion

Quantenobjekt

Glossar zur Physik für Schülerinnen und Schüler

Physik für Schülerinnen und Schüler

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Mit zunehmender Teilchenmasse spielt die deBroglie-Wellenlänge λ eine immer geringere Rolle

Ein Elektron (me = 9,1·10-31 kg), das durch eine Spannung von 10 V auf die Energie E = 10 eV beschleunigt wurde, hat eine klassische Geschwindigkeit v = 1,9.106 m/s. Die zugehörige deBroglie-Wellenlänge ist dann λ = h/(m·v) = 3,9.10-10 m. Rechne es bitte nach! Wenn dann bei einem Doppelspalt-Versuch der Spaltabstand in der Größenordnung1) der Wellenlänge wäre, könnten wir Einteilchen-Interferenz gut beobachten. Beim Atomkern von einem Wasserstoff-Atom (einem Proton) mit ca. 2000-facher Masse eines Elektrons bräuchten wir bei der gleichen Geschwindigkeit schon 2000-mal kleinere Doppelspalt-Strukturen, damit Einteilchen-Interferenz gut beobachtbar wird. (Dazu bräuchten wir eine Beschleunigungsspannung von  ca. 20 000 V.)

Auch mit den fußballförmigen Fulleren-Molekülen (im Vergleich zum Elektron ca. 1,4·106-fache Masse) ist Doppelspalt-Interferenz gelungen. Man bräuchte bei der gleichen Geschwindigkeit millionenfach kleinere Doppelspalt-Strukturen als für ein Elektron. Stattdessen wählt man lieber eine deutlich kleinere Geschwindigkeit (wenige 100 m/s) und ein Nachweisgerät, das kleinere Abstände in der Interferenzfigur auflösen kann.

Da für größere Teilchen alle üblichen Strukturen deutlich gröber sind, wird man in der Regel die vielen Nebenmaxima und -Minima nicht erkennen. Bereits das Fulleren-Molekül können wir also in üblichen Situationen - abgesehen vom Sonderfall - von einem klassisches Teilchen kaum unterscheiden.

Nach diesem Argument bräuchte man für einen Schüler der Masse 50 kg und der Geschwindigkeit 2 mm/s, also mit der deBroglie-Wellenlänge λ = 6,6·10-33 m, unrealistisch kleine Doppelspalt-Abstände in gleicher Größenordnung. Allein aus diesem Grund kann man mit einem Schüler sicher keine Interferenzfigur aufbauen, abgesehen davon, dass der Sch ja, ohne zu murren, sehr oft und immer mit der gleichen Geschwindigkeit den Doppelspalt passieren müsste, damit man den allmählichen Aufbau einer Interferenzfigur erkennen könnte. Also, nach diesem Argument sieht es so aus, als würde die Quantenphysik auch für makroskopische Teilchen gelten, aber man würde Abweichungen zwischen klassischer Physik und Quantenphysik so gut wie nie beobachten. Später erfährst du noch einen anderen Grund, weshalb man keine Chance hätte.

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Bohr'sches Korrespondenz-Prinzip

Bohr hatte schon sehr früh erkannt, dass Quantensysteme um so "klassischer" werden, je höher sie angeregt sind. Ein Wasserstoff-Atom im Grundzustand und in den ersten angeregten Zuständen verhält sich völlig anders als ein klassisches Planetenmodell. Insbesondere kann das "kreisende" Elektron nicht zugleich Ort und Geschwindigkeit als Eigenschaft haben. Es kann also keine Bahn des Elektrons um den Atomkern geben. Aber im Labor gelingt es in wasserstoffähnlichen Rydberg-Atomen, das ist z.B. ein Rubidium-Atom, das Außenelektron in den 50. angeregten Zustand zu bringen, aus dem Weltall kennt man sogar Anregungen bis in den 360. angeregten Zustand. Solche Rydberg-Atome verhalten sich weitgehend klassisch. Es hat schon einen recht guten Sinn, von einem kreisenden Elektron zu sprechen. Es verhält sich sogar wie ein schwingender Dipol, der eine elektromagnetische Welle mit der Umlaufsfrequenz abstrahlt. Diese entspricht - wie man leicht nachrechnen kann - sehr gut einem quantenphysikalischen Übergang von einem Zustand mit n = 50 in den nächsttieferen, also mit n = 49. Also, bei hohen Anregungen liefern Quantenphysik und klassische Physik in vielen Fällen übereinstimmende Ergebnisse; die Quantenphysik geht in die klassische Physik über.

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Bewegtes Quantenteilchen im Vergleich zu einem klassischen Teilchen - Ehrenfest gibt uns einen Schlüssel

Ein klassisches Teilchen hat einen bestimmten Ort x und eine bestimmte Geschwindigkeit v. (Die Physiker sagen, es ist im Ortsraum und im Impulsraum "lokalisiert".)

Bei einem Quantenteilchen können dagegen Ort und Geschwindigkeit nie gleichzeitig exakt be-stimmte**) Werte haben. Wenn wir bei einer sehr genauen Messung ein Quantenteilchen in der engen Umgebung eines Ortes x finden, ist die Wahrscheinlichkeitsdichte sehr eng um x konzentriert. Es ist ein Zustand entstanden mit sehr kleiner Streuung der Messwerte Δx. Leider schreibt dann die HUR vor, dass die Streuung Δv der Messwerte für die Geschwindigkeit v (oder Δp für den Impuls p) in einem solchen Zustand sehr groß ist. Wir wollen aber einen Zustand herstellen, in dem wir das Quantenteilchen möglichst genau in der Nähe eines bestimmten Ortes finden, wobei auch die Geschwindigkeit mit größter Wahrscheinlichkeit in der engeren Umgebung eines bestimmten Wertes gefunden werden soll. Man könnte meinen, dass das am ehesten ein klassisches Teilchen repräsentiert.

Ein solcher Zustand könnte durch ein recht eng begrenztes Wellenpaket für die Wellenfunktion beschrieben werden. Allerdings muss für diesen Zustand entsprechend der HUR *) ein Kompromiss zwischen den Streuungen Δx der Messwerte für den Ort und den Streuungen Δv der Messwerte für die Geschwindigkeit v gefunden werden. Die Breite des Wellenpaketes kann nicht zu gering gewählt werden, weil dann der Streubereich der Geschwindigkeitswerte zu groß wäre. Umgekehrt kann der Streubereich der Geschwindigkeit nicht zu klein gewählt werden, weil dann der Streubereich der Ortswerte zu groß wäre. Nehmen wir an, es sei uns gelungen, das Quantenteilchen in einen solchen geeigneten Zustand zu präparieren.

Betrachte die Abbildung links. Hier ist die Wahrscheinlichkeitsdichte für ein sich kräftefrei nach rechts bewegendes Quantenteilchen dargestellt, also die Wahrscheinlichkeit, den Ort des Quantenteilchens in einem engen Bereich um den Wert x zu finden. Die Situation könnte einem Elektron in einer Oszilloskopröhre entsprechen, das sich nach der Beschleunigung kräftefrei auf den Bildschirm zu bewegt. Zunächst sieht das wie eine halbwegs gute Wahrscheinlickeitsverteilung für ein klassisches Teilchen aus: sie ist anfangs ziemlich konzentriert um den Ort des Teilchens. Der Zustand wurde auch so präpariert, dass die Geschwindigkeit nahe der des klassischen Teilchens zu finden ist.

Man stellt fest: Der Mittelwert oder Erwartungswert2)  bei Ortsmessungen - grob der Punkt mit größter Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zu finden, bewegt sich mit der Geschwindigkeit des klassischen Teilchens. Genau das hat der österreichische Physiker Paul Ehrenfest 1927 mit dem nach ihm benannten Theorem für bestimmte Situationen behauptet.

Doch allmählich wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung immer unschöner: Sie wird immer breiter, "fließt auseinander", und man ist immer weniger geneigt, in ihr eine geeignete Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Darstellung eines klassischen Teilchens zu sehen. Messwerte für Ort und Geschwindigkeit streuen immer stärker und weichen immer mehr von denen des klassischen Teilchens ab. Ehrenfests Theorem wird hier immer weniger anwendbar sein.

Cum grano salis kann man aber sagen:

Auch ein Elektron als Quantenteilchen bewegt sich - wenn wir die Erwartungswerte von x und v betrachten - in etwa so, wie wir es in der klassischen Physik gelernt haben. Aber es sind streuende Messwerte für x und v zu beobachten.

Was wir über die Bewegung von Elektronen in der veralteten Fernsehröhre, der Oszilloskopröhre, dem Fadenstrahlrohr oder im Zyklotron gelernt haben, ist also in diesem Sinn richtig.

Wenn nur die Streuungen der Messwerte nicht wären! Aber vielleicht gibt es Situationen, wo die Streuung im Vergleich zum Messwert selbst klein ist? Wenn bei einem Erwartungswert <v> = 100 m/s ein Streubereich von Δv = 100 m/s beobachtet wird, ist das erheblich, aber bei <v> = 106 m/s macht die gleiche Streuung weniger als 0,1 Promille aus!

(alle drei Abb. nach Brandt, Dahmen, The picture book of quantum mechanics, Wiley, 1985)

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Hier ist wieder die Wahrscheinlichkeit dargestellt, ein Quantenteilchen in der Nähe eines Ortes x zu finden, diesmal aber in einem unendlich hohen Potenzialkasten. Wir stellen uns also vor, dass wir einen solchen Zustand präpariert haben, dass das Teilchen zur Zeit 0 recht gut lokalisiert in der Nähe der Mitte des Potenzialtopfs zu finden ist, wobei die möglichen Geschwindigkeiten nahe der eines klassischen Teilchens sind. Diese soll nach links gerichtet sein.

Und tatsächlich: Der Erwartungswert des Orts bewegt sich in etwa mit der Geschwindigkeit des klassischen Teilchens nach links. Der Wellenberg wird wie das Teilchen an der linken Potenzialwand reflektiert. Der Wellenberg bewegt sich wie das klassische Teilchen zur rechten Potenzialwand usw. Das wird wieder durch das Ehrenfest-Theorem richtig beschrieben.

Doch allmählich fließt die Wahrscheinlichkeitsverteilung immer weiter auseinander, und durch die Interferenzen an den Potenzialwänden überlagern sich immer mehr Maxima und Minima: die entstehende Wahrscheinlichkeitsverteilung passt immer weniger zu der Ausbreitung eines klassischen Teilchens. Messwerte für Ort und Geschwindigkeit werden immer stärker streuen und von denen des klassischen Teilchens abweichen.

( Bei diesem Zustand eines Wellenpakets handelt es sich nicht um einen der stationären Zustände be-stimmter Energie E, wie sie etwa in der Schule mit Hilfe der "zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung" untersucht werden. Dort sind die Erwartungswerte von Ort und Geschwindigkeit stets 0. Aber aus beliebig vielen solchen stationären Zuständen könnte man den des laufenden Wellenbergs "überlagern" (zusammensetzen). )

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Der Ausnahmefall: Ein schwingendes Quantenteilchen in einem kohärenten Wellenpaket

Ein klassisches Teilchen, auf das eine auslenkungsproportionale Rückstellkraft wirkt, bewegt sich - in einer anderen Sprechweise - in einem Parabelpotenzial, d.h. seine potenzielle Energie ist proportional zum Quadrat der Auslenkung. Das Teilchen schwingt dann  harmonisch mit einer bestimmten Frequenz f.

Ein Quantenteilchen kann zwar nicht gleichzeitig potenzielle und kinetische Energie haben, auch nicht Gesamtenergie E und eine der beiden Teilenergien (Komplementarität), aber, wenn man die potenzielle Energie durch die Potenzialfunktion gleicher Form ersetzt, kann man die Schrödinger-Gleichung nach stationären Lösungen mit be-stimmter Gesamtenergie E lösen. In solchen Zuständen ist der Erwartungswert der Geschwindigkeit 0 und des Orts gleich der Ruhelage des klassischen Teilchens. Für diese Energien gilt En = h·f·(n+ 1/2), wobei n = 0, 1, 2, ... . Solche Zustände gibt es in der klassischen Physik nicht. Die einzelnen Energiestufen unterscheiden sich um ein "Schwingungsquant" h·f. Für den n-ten Anregungszustand sind dann n Schwingungsquanten angeregt.

Man kann aber das Quantenteilchen - wenigstens im Prinzip - auch in Wellenpakete mit einer vorgegebenen Breite Δx und Form präparieren. Bei einem so genannten Gauß-Paket oszilliert entsprechend dem Ehrenfest-Theorem für enge Wellenpakete der Erwartungswert des Ortes wie bei einem klassischen Teilchen (rote Punkte). Im Allgemeinen pulsieren aber auch Breite und Höhe des Wellenpakets, es läuft auseinander und wieder zusammen, usw. Nur, wenn man eine bestimmte Breite Δx = σ (siehe Abb. links) wählt, bleiben Breite und Höhe bei dieser Bewegung unverändert. Das so genannte Minimum-Wellenpaket bleibt beisammen, es ist "kohärent". Das ist links gezeichnet.

Noch einmal:

I.A. ist dieser Zustand eines oszillierenden Wellenpakets kein Zustand be-stimmter Energie, kein stationärer Zustand. Dort sind die Erwartungswerte von Ort und Geschwindigkeit stets 0 (bzw. gleich der Intervallmitte). Das Wellenpaket kann aber überlagert werden aus beliebig vielen stationären Zuständen mit den Energien En ( n = 0, 1, 2, 3, ...).

( Wenn <n> der Erwartungswert für die Nummer des Anregungszustands  (der Anzahl der Schwingungsquanten) ist, zeigt die Theorie eine Poisson-Verteilung für die bei der Überlagerung beteiligten Zahl n der Schwingungsquanten.  (Es gilt: p(n) = <n>n/n! exp(-<n>) ). Das soll hier nur ohne weitere Erklärung erwähnt werden, weil diese Eigenheit auch in einigen anderen Zusammenhängen auftritt. Es sind immer beliebig hohe Anregungszustände beteiligt, aber nach dieser Poisson-Verteilung tragen desto mehr wesentlich bei, je größer die Amplitude der Schwingung ist. )

Mit zunehmender mittleren Anzahl <n> der Schwingungsquanten steigt die Amplitude der links gezeichneten Schwingung. Auch, wenn im Mittel (Erwartungswert) nur <n> =1 Schwingungsquanten angeregt sind, können verschiedene Messungen von n im gleichen Zustand die Werte 0, 1, 2, 3, ... liefern, am häufigsten jedoch 1.

Man kann sogar zeigen, dass für hohes <n> (aha! Korrespondenz-Prinzip!) die klassische Energie des schwingenden Teilchens mit der Energie En = h·f·(n+ 1/2) desjenigen stationären Zustands des Quantenteilchens in guter Näherung übereinstimmt, der am häufigsten beiträgt.

Wiederum:

Auch in solchen Zuständen streuen Messwerte für Ort und Geschwindigkeit (Impuls) des Quantenteilchens. Aber die Erwartungswerte von Ort und Geschwindigkeit verhalten sich wie bei klassischen Teilchen.

Was wir über die Bewegung von Elektronen, Protonen oder Ionen in der klassischen Physik gelernt haben, ist häufig weiterhin gültig, aber nur für die Erwartungswerte.

Das braucht uns in vielen Fällen nicht zu stören.

Aber noch etwas haben wir gesehen: Mit so einem Wellenpaket kann man manchmal mögliche Messwerte recht gut beschreiben, wenn man ein möglichst "klassisches Verhalten" von Quantenteilchen untersuchen möchte. Aber ein Quantenteilchen ist kein Wellenpaket. Insbesondere ist eine Lokalisierung (oder hier eine ungefähre Lokalisierung) nicht charakteristisch für ein Quantenteilchen. Es kann - nach einer Messung - kurzzeitig lokalisiert sein. Im Allgemeinen ist das nicht der Fall.

Als eine spezielle Wellenfunktion ist auch ein Wellenpaket nur zuständig für die Vorhersage von Wahrscheinlichkeiten für zukünftige Messwerte. Das Wellenpaket ist kein Gegenstand, der sich im uns umgebenden Ansschauungsraum bewegt .

Auch bei der Kreis- oder Spiral-Bewegung eines Elektrons im Magnetfeld des Fadenstrahlrohrs gilt die Aussage:

Die klassische Physik ist weiterhin richtig für die Erwartungswerte von Ort und Geschwindigkeit. Der Streubereich für x und v spielt in vielen Fällen eine vernachlässigbare Rolle.

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Quantenphysikalische Beschreibung einer klassischen elektromagnetischen Welle - kohärente Zustände

Bei einer idealen klassischen elektromagnetischen Welle der einheitlichen Frequenz f hängen elektrische und magnetische Feldstärke E und B sinusförmig von Zeit und Ort ab. Diese Abhängigkeiten werden durch eine "Phase" beschrieben. Beide Feldstärken E und B und die Phase haben bestimmte Werte, auch, wenn wir sie evtl. nicht kennen. Als eine solche Welle könnten wir etwa die Trägerwelle eines Rundfunksenders ansehen oder eine (polarisierte) Lasermode.

Glauber konnte 1963 zeigen, wie eine solche ideale klassische elektromagnetische Welle quantenphysikalisch zu beschreiben ist. Wir können davon ausgehen, dass E und B ohne eine Messung nicht be-stimmt sind, und, dass sie beide nie gleichzeitig be-stimmt sein können. Messungen im gleichen Zustand werden dann i.A. für beide Feldstärken streuende Werte ergeben, aber wir können erhoffen, dass unter bestimmten Umständen (bei großen Messwerten) die Streuungen im Vergleich zu den Erwartungswerten der Messgrößen wenig ausmachen.

Wenn es um Teilchenzahlen n ginge: Wenn <n> = 100 und Δn = √n = 10 wären 10/100 = 10 % Abweichungen vom Erwartungswert beträchtlich. Bei <n> = 1 000 000 und Δn = √n = 1000 wäre die Streuung zwar absolut viel größer, aber würde nur 1 000/ 1 000 000 = 1 Promille vom Erwartungswert ausmachen, also schwer beobachtbar sein.

Glauber  (Nobelpreis 2005) zeigte, dass zur Beschreibung klassischer Wellen bestimmte "kohärente Zustände" mit un-be-stimmter Photonenzahl n geeignet sind. Bei Messungen im jeweils gleichen Zustand würden wir starke Streuungen der Photonenzahl n um einen Erwartungswert <n> beobachten. In solchen Zuständen sind die Amplituden und die Phasen von E und B un-be-stimmt. Aber, unabhängig von der mittleren Photonenzahl <n> stellt sich heraus, dass die Erwartungwerte der Feldstärken, <E> und <B>, in gleicher Weise von Zeit und Ort abhängen wie bei einer klassischen Welle. Außerdem sind die Erwartungswerte der Feldstärken proportional zu √<n> (Wurzel n). Je größer also die Amplituden von <E> und <B> sind, desto mehr Photonen tragen wesentlich zu den Feldstärken bei. Das gilt auch z.B. für <n> = 1.

Für die Wahrscheinlichkeit, in einem solchen Zustand n Photonen zu finden, gilt wieder die oben erwähnte Poisson-Verteilung.

Es gibt auch Zustände des elektromagnetischen Felds mit einer be-stimmten Photonenzahl, z.B. n = 1. In all diesen Fällen sind aber die Erwartungswerte der Feldstärken stets 0, ganz anders als bei der klassischen Welle.

Es stellt sich weiter heraus, dass mit zunehmender mittleren Photonenzahl <n> die Streuungen der Feldstärken und der Phasen immer weniger ins Gewicht fallen. Die Welle eines Rundfunksenders enthält im Mittel extrem viele Photonen geringster Energie. Sie wird durch die klassische Physik wie durch die Quantenphysik in gleicher Weise perfekt beschrieben. Ähnlich ist es mit einer Lasermode aus einem handelsüblichen Laser.

Fassen wir zusammen:

  • Ideale klassische elektromagnetische Wellen werden quantenphysikalisch durch kohärente Zustände beschrieben mit un-be-stimmter Photonenzahl.
  • Die Erwartungwerte der Feldstärken E und B hängen dann quantenphysikalisch und klassisch in gleicher Weise von Ort und Zeit ab.
  • Die Erwartungwerte der Feldstärken E und B wachsen mit zunehmender mittlerer Photonenzahl <n>.
  • Bei sehr großer mittlerer Photonenzahl <n> machen die Streuungen von E und B und der Phase im Vergleich zu den Erwartungswerten wenig aus. Dann sind Unterschiede zwischen einem solchen kohärenten Zustand und einer klassischen Welle kaum zu beobachten.
  • ( Zustände mit einer be-stimmten Photonenzahl, z.B. n = 1, sind ungeeignet zur Beschreibung von klassischen elektromagnetischen Wellen, auch nicht für sehr hohe be-stimmte Photonenzahlen.)

     Was wir über klassische elektromagnetische Wellen gelernt haben, ist weitgehend auch in der Quantenphysik gültig, bezogen aber auf die Erwartungswerte der Feldstärken     (<E> und <B>)  und die Phase.

Aber die Quantenphysik hätte nicht ihre überragende Bedeutung erlangt, wenn es nicht andere Situationen gäbe, wo sich Quantenobjekte völlig anders "verhalten" als  klassische Objekte.

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Dekohärenz

Das Phänomen der Dekohärenz ist erst in den letzten Jahrzehnten entdeckt worden. Die Frage ist, wie lange eine un-be-stimmte Messgröße un-be-stimmt bleibt, ob sie nicht etwa "von selbst", ohne eine gewollte Messung, einen be-stimmten Wert erhält. Berühmt ist in diesem Zusammenhang die Schrödinger'sche Katze, die sich mit einem Tötungsmechanismus in einem verschlossenen Kasten angeblich in einem un-be-stimmten Zustand aus tot und lebendig befinde. Gibt es Mechanismen, die die Katze bereits vor dem Öffnen des Kastens in einen Zustand überführen, in dem sie be-stimmt "tot" oder "lebendig" ist? Man hat dies an mikroskopischen Modellsystemen experimentell untersucht . Danach tritt dieser Übergang tatsächlich ein, bereits bei relativ kleinen Molekülzuständen in der unvorstellbar kurzen Zeit von 10-23 s . Man nimmt an, dass die Ankopplung des Modellsystems an die Umgebung mit Hilfe von niederenergetischen Infrarot-Photonen, z.B., Grund für diesen Übergang von un-be-stimmt zu be-stimmt, aber noch ungewiss, ist (solange der "Kasten" noch nicht geöffnet ist; nach dem Öffnen wird der Zustand sogar gewiss).

Eine ganz andere Frage ist, ob es Überlagerungszustände zwischen Teilzuständen gibt, oder anders gesagt, ob es Zustände mit un-be-stimmten Eigenschaften gibt. Das steht aber seit Etablierung der Quantenphysik außer Zweifel.

Ich denke, man kann diese Erkenntnisse übertragen auf die Situation am Doppelspalt, wo bei Interferenz un-be-stimmt ist, durch welchen Spalt das Quantenteilchen hindurchgetreten ist. Durch Dekohärenz könnte bei großen Teilchen in kürzester Zeit ein Übergang in einen be-stimmten Zustand erfolgen. Bereits große Quantenteilchen würden sich dann bereits am Doppelspalt wie klassische Teilchen verhalten, also keine Interferenz zeigen.

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Hinweise:

1)  Die Floskel "in der Größenordnung" ist nicht genau festgelegt. Es könnte einen Wert ungefähr zwischen 1/10 des angegebenen Wertes und dem 10-fachen bedeuten. Damit gibt man häufig eine Faustregel an. Die Formulierung schließt nicht aus, dass mit besonderen Tricks auch weit außerhalb des angegebenen Bereichs liegende Werte zu guten Ergebnissen führen.

2) Der Erwartungswert <x> oder Mittelwert einer Größe x entspricht dem statistischen Mittelwert als Ergebnis sehr vieler Messungen der streuenden Größe x. Er stimmt grob, aber nicht exakt, mit dem "wahrscheinlichsten Wert" für x überein. Typisch für die Quantenphysik ist, dass manche Größen nicht be-stimmt sind, dass sie erst durch eine Messung be-stimmt werden, und dass sich bei dieser Messung (jeweils im selben Zustand) streuende Messwerte in einem gewissen Bereich um <x> ergeben. Eine Faustregel besagt: Grob 2/3 aller Messwerte findet man im Bereich von <x> - Δx bis <x> + Δx.

*) Die Heisenberg'sche Un-be-stimmtheitsrelation (HUR) besagt, dass man das Produkt   Δx·Δv bzw. Δx·Δp nicht unter eine Mindestgröße herunterdrücken kann. Wenn gilt Δx·Δp = h/2 ( h = h/2 π ) liegt ein so genanntes Minimumpaket vor.

**) "be-stimmt" wird hier - entgegen der Duden-Vorschrift - mit Bindestrich geschrieben, wenn es die quantenphysikalische Bedeutung haben soll, damit man es nicht mit dem umgangssprachlichen "bestimmt" verwechselt.