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Physik für Schülerinnen und Schüler

Zusammenhang von Gewichtskraft und Masse - das Wunder der Gravitation

© H. Hübel Würzburg 2013

Empfohlene Glossarthemen:

Masse

Gravitationsfeld

Kraft

Glossar zur Physik für Schülerinnen und Schüler

Physik für Schülerinnen und Schüler

NEU Physikalische Schülerversuche mit PC und Mikroprozessor, 2. Auflage, im Buchhandel erschienen

Zur Erinnerung: Gewichtskraft und Masse

Du kennst die Gewichtskraft G, die auf einen Körper ausgeübt wird, und die Masse m eines solchen Körpers.

Die Gewichtskraft  G ist die Kraft, mit der die Erde auf benachbarte Gegenstände mittels der Gravitation einwirkt. Ganz Entsprechendes gilt für andere Himmelskörper, wie etwa den Mond. Du weißt, dass diese Gewichtskraft vom Gegenstand und vom benachbarten Himmelskörper abhängt. Die Gewichtskraft G ist ein Vektor mit dem Betrag G. Ihr Betrag G wird in N gemessen. Auf dich dürfte hier bei uns eine Gewichtskraft von etwa 500 N wirken. Damit ist also ihr Betrag gemeint. Sie ist zum Zentrum des benachbarten Himmelskörpers gerichtet, also hier bei uns zum Zentrum der Erde hin.

Du weißt aber auch, dass die Masse m eines Gegenstands ein Maß für seine Trägheit ist. Die Trägheit zeigt sich beim Beschleunigen und Abbremsen durch eine Kraft, auch bei Richtungsänderungen. Sie ist wirklich eine Eigenschaft des Gegenstands allein, d.h. ganz gleich, wo sich der Gegenstand befindet, er ist immer gleich träge, hat immer die gleiche Masse m. Du dürftest überall im Weltall eine Masse (Trägheit) von etwa 50 kg haben, auch in der Schwerelosigkeit der Raumstation ISS.

Erforsche den Zusammenhang zwischen Gewichtskraft und Masse

Führe nun folgenden Versuch durch:

Wähle verschiedene, nicht zu schwere Gegenstände. Miss mit einem Kraftmesser die Gewichtskraft mit dem Betrag G, die auf jeden Gegenstand wirkt, und mit einer Waage, vielleicht einer digitalen Küchenwaage, seine Masse m. Trage beide Werte in eine Tabelle ein. Zur Auswertung bildest du die Verhältnisse G/m  (a) und zeichnest ein m-G-Diagramm (b).

Ergebnisse:

(a) Alle Verhältnisse G/m sind im Rahmen der Messgenauigkeit konstant mit einem Wert von ca. 10 N/kg.bzw. 10 mN/g.

(b) Alle Gegenstände liefern im m-G-Diagramm Messpunkte, die recht gut auf einer Ursprungsgeraden liegen.

Beide Auswertungen lassen die gleiche Aussage zu:

An einem festen Ort sind (der Betrag der) Gewichtskraft G und die Masse m zueinander proportional. Die Proportionalitätskonstante erhält üblicherweise die Abkürzung g und heißt Ortsfaktor, manchmal auch Fallbeschleunigung. Sie hat bei uns näherungsweise einen Wert g = 10 N/kg  = 10 mN/g . Es gilt:

g = G/m ist konstant an einem festen Ort,  bzw.

G = m·g

g soll an Gravitation erinnern. Als üblichen Wert für g liest man  in Büchern meistens g = 9,81 N/kg. Aber da die Gewichtskraft von Ort zu Ort verschieden ist, variiert g auch auf der Erde leicht zwischen ca. 9,79 N/kg und 9,83 N/kg. Der kleinere Wert ist am Äquator gültig, der größere an  Nord- und Südpol. Für viele Zwecke reicht unser Näherungswert mit 10 N/kg.

Das Wunder der Gravitation

Dieses Ergebnis muss man sich auf der Zunge zergehen lassen: Die Gewichtskraft G ist bestimmt durch die Gravitationsanziehung der Erde (und den untersuchten Gegenstand). Ihr Betrag G hängt vom Gegenstand und dem benachbarten Himmelskörper, z.B. der Erde, ab. Die Masse m dagegen ist eine Eigenschaft des Körpers allein, ein Maß für seine Trägheit. Ich denke, dir geht es wie mir:  Es ist für mich extrem überraschend, dass die Trägheit eines Körpers (also sein Verhalten beim Bremsen und Beschleunigen, das auch im schwerelosen Raum wie überall abläuft) etwas mit der Anziehungskraft der Erde zu tun haben soll, die auf ihn wirkt. Das konnte bis vor 100 Jahren niemand verstehen. Newton hatte allerdings schon im 17. Jahrhundert mit seinem Gravitationsgesetz einen wichtigen Beitrag geleistet. Aber erst Albert Einstein wusste mit seiner allgemeinen Relativitätstheorie mehr zum Zusammenhang zwischen Gravitation und Trägheit zu sagen. Wir nehmen die Proportionalität hier als Erfahrungstatsache.

Ortsfakoren - durch den Ort bestimmt

Auch auf anderen Himmelskörpern, dem Mond etwa, sind die Gewichtskraft, die auf einen Körper wirkt, und seine Masse (Trägheit) proportional zueinander. Die Proportionalitätskonstante g ist aber von Ort zu Ort verschieden. Deshalb heißt g Ortsfaktor. Einige Werte von g findest du in der folgenden Tabelle ( nach http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/index.html ).

Himmelskörper

Merkur Venus Erde Mond Mars Jupiter Saturn Uranus Neptun Pluto

g in N/kg

3,7 8,9 9,8 1,6 3,7 23,1 9,0 8,7 11,0 0,6

Offenbar ist es so, dass die Gravitationskraft (Gewichtskraft) an der Masse eines Körpers angreift. Je größer die Masse des Körpers, desto größer ist am gleichen Ort auch die Gravitionskraft (Gewichtskraft). Aber die Gravitationskraft hängt selbst auch von der Masse des benachbarten Himmelskörpers ab. Hätte der Himmelskörper keine Masse, könnte er auf andere Körper auch keine Gravitationskraft ausüben. Weshalb der Erdmond Gegenstände auf seiner Oberfläche nur mit 1/6 der Kraft anzieht wie die Erde auf ihrer Oberfläche, hängt damit zusammen, dass die Mondmasse viel kleiner als die Erdmasse ist. Du darfst aber nicht schließen, dass sie nur 1/6 so groß ist: Es geht auch der Abstand zum Mittelpunkt ein, der beim Mond viel kleiner ist.

Vergleich mit der elektrischen Kraft - Ursachen der Gravitations-Wechselwirkung

Dass zu einer Kraft immer zwei gehören, ein Gegenstand, von dem die Kraftwirkung ausgeht und ein Gegenstand, an dem die Kraft angreift, ist dir längst bekannt. Darüber hinaus gilt bei der Gravitationskraft auch: Zwei Körper ziehen sich gegenseitig an. Das ist so wie bei der elektrischen Kraft: Zwei geladene Körper ziehen sich gegenseitig an (Das gilt aber nur, wenn das Vorzeichen ihrer Ladung entgegengesetzt ist.) Die Größe der elektrischen Anziehungskraft hat hier offenbar zwei Ursachen: die elektrische Ladung des einen Körpers und die elektrische Ladung des anderen Körpers. Genauso kann man sagen:

Die Gewichtskraft (Gravitationskraft) hat zwei Ursachen: die Masse des Gegenstands, auf den sie wirkt, und die Masse des Himmelskörper, der diesen Gegenstand anzieht.

(Zunächst scheint diese Formulierung korrekt.) Newtons Entdeckung der zwei Ursachen der Gewichtskraft war ganz wichtig für die Aufklärung des Baus unseres Planetensystems. Sie ermöglichte sogar die Bestimmung der Masse des Himmelskörpers aus dem Ortsfaktor g, wenn sein Radius bekannt war.

Der elektrischen Ladung  bei der elektrischen Kraft entspricht also die Masse bei der Gravitationskraft (Gewichtskraft). Man könnte die Masse also auch "Gravitationsladung" nennen. Die Gewichtskraft hängt von beiden "Gravitationsladungen" ab. Erst Einstein verstand genauer, was die "Gravitationsladung" mit Trägheit zu tun hat.

Der Himmelskörper (z.B. die Erde, hier blau) hat i.A. eine sehr viel größere Masse (M) als ein Gegenstand (rot, m). Wir - auf der Erde - haben in der Regel nur Einfluss auf den Gegenstand. Deswegen steht dieser für uns im Vordergrund. Aber eigentlich ist die Situation völlig symmetrisch. Deswegen spricht man von einer Gravitations-Wechselwirkung:

  • Der Himmelskörper übt eine Gewichtskraft (Gravitationskraft) auf den Gegenstand aus; der Himmelskörper zieht den Gegenstand an.
  • Der Gegenstand übt eine entgegengesetzte Gewichtskraft (Gravitationskraft) von gleichem Betrag auf den Himmelskörper aus; der Gegenstand zieht den Himmelskörper an.
  • Die Anziehung ist gegenseitig; es findet also eine Wechselwirkung statt.
  • Wechselwirkung setzt zwei Körper voraus.
  • In die Größe der gegenseitigen Anziehungskraft gehen beide Massen in gleicher Weise ein.
  • In die Größe der gegenseitigen Anziehungskraft muss der relative Abstand der Zentren der beiden Körper eingehen.

Das sind Aussagen bzw. Folgerungen aus dem 3. Gesetz von Newton (actio = reactio).

Chance und Risiko

Die Masse ist ein Maß für die Trägheit eines Gegenstands. Sie kann durch einen Beschleunigungsversuch gemessen werden. Aber das ist sehr umständlich.

Wegen des Zusammenhangs mit der Gewichtskraft G = m.g bietet es sich an, die Masse an einem bestimmten Ort durch die dort wirkende Gewichtskraft zu messen. Darauf beruhen quasi alle heutzutage üblichen Verfahren zur Massenbestimmung: Man bestimmt für den Gegenstand die Gewichtskraft G, die am Einsatzort auf ihn wirkt. Dann rechnet man mittels der Gesetzmäßigkeit m = G/g die Masse aus und zeigt allein sie auf einer Skala oder digital an.

Das Problem aber für die Hersteller genauer Waagen ist es, dass sie wissen müssen, wo die Waage zum Einsatz kommen soll. Der Ortsfaktor g hat in Nordschweden einen ganz anderen Wert als in Nairobi am Äquator. Bestimmt man die Masse mit einer handelsüblichen Waage über die Gewichtskraft, muss man es in Kauf nehmen, dass die Waage nur am vorgesehen Ort die Masse genau anzeigt.

Vielleicht stehen dir mehrere Waagen zur Verfügung, die für unterschiedliche Einsatzorte hergestellt wurden, z.B. für China oder für Mitteleuropa. Teste mit einem bestimmten Gegenstand, ob sie beide die gleiche Masse zeigen.

Wozu?

Wenn wir die Masse (Trägheit) eines Gegenstands kennen, ist uns mit dem Ortsfaktor g auch die Gewichtskraft bekannt, mit der er vom benachbarten Himmelskörper angezogen wird. Umgekehrt kennen wir mit der Gewichtskraft auf den Körper dann auch dessen Masse. Das ermöglichte die Herstellung einfacher Waagen zur Massenbestimmung.

Weil g aber von der Masse des Himmelskörpers und seinem Radius abhängt, kann mit g die Masse des Himmelskörpers bestimmt werden. Für unsere Erde kam so ungefähr heraus: ME = 6·1024 kg, für den Erdmond MM = 7·1022 kg. Hättest du gedacht, dass es für solch riesige Massen eine geeignete Waage gibt?

Die Entdeckung der Masse (Trägheit) eines Körpers als "Gravitationsladung" (G = m·g), an der die Gravitationskraft angreift, hat die Aufklärung unseres Planetensystems und die Entdeckung der allgemeinen Relativitätstheorie durch Einstein angestoßen. Hättest du gedacht, dass dein Versuch so weitreichende Konsequenzen hatte?


Aufgaben:

1. Entscheide (ja oder nein ?):

 

Aussage

ja/nein

1 Mit dem Ortsfaktor g kennt man die Gewichtskraft, die auf einen Gegenstand wirkt.  
2 Der Ortsfaktor g verbindet eine Eigenschaft eines Gegenstands (seine Trägheit oder Masse) mit der Gewichtskraft, die der benachbarte Himmelskörper auf den Gegenstand ausübt.  
3 Kennt man die Masse m eines Gegenstands erhält man mit dem Ortsfaktor g die Gewichtskraft G, mit der der benachbarte Himmelkörper auf den Gegenstand einwirkt.  
4 Masse m und Gewichtskraft G sind im wesentlichen das gleiche: sie unterscheiden sich an einem festen Ort nur durch einen Faktor.  
5 Aus dem Ortsfaktor g kann man bei bekanntem Radius des benachbarten Himmelskörpers auf dessen Masse (Trägheit) schließen.  
6 Kennt man die Gewichtskraft, mit der die Erde einen Gegenstand anzieht, kann man  auf die Trägheit (Masse) des Gegenstands schließen.  
7 Eine bestimmte digitale Waage hat nach Datenblatt am vorgesehenen Einsatzort höchstens einen Messfehler von 0,1 %. Mit ihr kann man überall auf der Erde die Masse eines Gegenstands sehr genau bestimmen.  
8 Zur Tatsache, dass die Masse (Trägheit) eines Gegenstands auch seine "Gravitationsladung" ist, an der die Gewichtskraft angreift, konnte erst Einstein vor ca. 100 Jahren Genaueres sagen.  

2. Auf der Verbindungsstrecke zwischen Erdmittelpunkt und Mondmittelpunkt gibt es einen Punkt, an dem sich die Erdanziehung und die Mondanziehung gegenseitig aufheben. Ein Raumschiff, das sich an diesem Punkt in Ruhe befindet, ist also schwerelos. Wie unterscheidet sich diese Art von Schwerelosigkeit von der Schwerelosigkeit von Gegenständen im Raumschiff, das um die Erde kreist?


Lösung:   1n, 2j, 3j, 4n, 5j, 6j, 7n, 8j


(Oktober 2013: Sonderzeichen geändert)