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G44a Vergleich mit dem Wahrscheinlichkeitsbegriff nach Kolmogorow |
Zur Diskussion gestellt:
In der Quantenphysik wird mit Wahrscheinlichkeiten p und Wahrscheinlichkeitsamplituden Ψ (Psi) gerechnet. Wahrscheinlichkeitsamplituden in der Form von Schrödinger'schen Wellenfunktionen oder Zeigern (in Abwandlung der Feynman'schen Pfadintegralmethode) sind in der Regel komplexe Zahlen. Beim Rechnen mit ihnen müssen Beträge und Phasen berücksichtigt werden. Wahrscheinlichkeiten sind immer reelle Zahlen zwischen 0 und 1. In der klassischen Wahrscheinlichkeitslehre kommen dagegen Wahrscheinlichkeitsamplituden nicht vor. Von Wahrscheinlichkeitsamplituden kommt man zu Wahrscheinlichkeiten durch das Betragsquadrat: p = /Ψ/2 = Ψ·Ψ* (Ψ* ist das Konjugiert-Komplexe zu Ψ)
Nach Kolmogorow wird ein Wahrscheinlichkeitsmaß durch folgende drei Axiome definiert:
(A und B seien dabei Ereignisse, W der Ergebnisraum; A Ç B bedeutet das Ereignis "A und zugleich B", A È B das Ereignis "A oder B")
Axiom I: p(A) >= 0
Axiom II: p(W) = 1
Axiom III: bezieht sich auf unvereinbare Ereignisse: Wenn A Ç B = 0 => p(A È B) = p(A) + p(B)
Die ersten beiden Axiome sind auch in der Quantenphysik uneingeschränkt gültig. Wie sieht es aber mit dem dritten aus?
Ein Beispiel:
A sei das Ereignis: Das Quantenteilchen tritt durch Spalt A und wird in einem Punkt E auf dem Schirm nachgewiesen.
B sei das Ereignis: Das Quantenteilchen tritt durch Spalt B und wird in einem Punkt E auf dem Schirm nachgewiesen.
Sind die beiden Ereignisse unvereinbar? Klassisch kann man argumentieren: Natürlich sind sie unvereinbar, da das Teilchen nicht gleichzeitig durch beide Spalte hindurchtreten kann. Aber woher weiß man das? Eine Messung des Durchtrittsorts würde das zeigen. Ist eine solche Messung durchgeführt, stimmt die Argumentation, und es gilt sicher wie in der klassischen Physik Axiom III, selbst dann, wenn der Beobachter, der den Nachweis auf dem Schirm das Messergebnis nicht kennt (aber kennen könnte).
Ist eine solche Messung aber nicht durchgeführt, gibt es keine Information über die Art des Durchtritts. Dann kann man auch nicht im Sinne von Kolmogorow behaupten, dass die beiden Ereignisse stochastisch unvereinbar seien. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten muss man jetzt die Wahrscheinlichkeitsamplituden addieren: Ψ(A È B) = Ψ(A) + Ψ(B), wenn also nicht entschieden ist, ob das Ergebnis E auf dem Weg über A oder über B eingetreten ist.
Ich weiß nicht, ob es für diese Situation eine Bezeichnung gibt. Vielleicht wäre "amplitudenmäßig unvereinbar" oder einfach "unentschieden" eine mögliche Bezeichnung.
Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten in der Quantenphysik werden hier zusammengestellt:
1. Kann ein Ergebnis auf verschiedene Weisen eintreten (A oder B), zwischen denen nicht entschieden wird, so werden alle Wahrscheinlichkeitsamplituden Ψ addiert. Dann kann evtl. Interferenz entstehen.Ψ(A È B) = Ψ (A) + Ψ (B) ("Interferenz nicht entschiedener Möglichkeiten"). Die verschiedenen Weisen laufen dann unabhängig voneinander in Konkurrenz ab.
| Beispiele zu 1: | (a) Doppelspalt-Versuch - Einteilchen-Interferenz
Ereignis A: Das Quantenteilchen tritt durch Spalt A / Ereignis B: Das Quantenteilchen tritt durch Spalt B. Die Wahrscheinlichkeit für den Nachweis eines Teilchens auf dem Schirm im Punkt E, das durch einen bestimmten Spalt A (bzw. B) getreten ist, sei 0,01 = 1 %. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude Ψ(A) (bzw. Ψ(B) ) hat dann den Betrag 0,1. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude für das Ereignis "Nachweis bei E", wenn A È B ist dann: Ψ(A È B) = Ψ(A) + Ψ (B). Die beiden Wahrscheinlichkeitsamplituden sind phasengerecht zu addieren. Je nach "Phasenunterschied" (Gangunterschied) ergibt sich eine Wahrscheinlichkeitsamplitude mit einem Betrag zwischen 0 und 0,2, also eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 0,04, maximal 4 %: Interferenz der beiden Möglichkeiten. (b) Bei der Röntgenbremsstrahlung überträgt ein Elektron Energie und Impuls an den Atomkern des Anodenmaterials. Restenergie und Restimpuls behält das Elektron, jeweils in unterschiedlichem Maße. Über die jeweilige Größe bzw. Richtung der Wechselwirkung mit dem Kern wird nicht entschieden, ebensowenig, welcher der möglichen beitragenden Prozesse in jedem Einzelfall dabei stattfindet: Die Wahrscheinlichkeitsamplituden sind zu addieren. Es würde das Bremsspektrum einer dünnen Schicht des Anodenmaterials entstehen. Andererseits kann ein Elektron in einer dicken Schicht 1 x, 2 x, 3 x , ... Energie und Impuls an einen Kern und an ein Photon abgeben. Für diese Prozesse sind die Wahrscheinlichkeiten zu addieren. Insgesamt resultiert das bekannte Bremsstrahlungsspektrum. Das gilt im Prinzip; konkrete Rechnungen sind sehr schwierig. |
2. a) Ein Teilchen: Laufen Vorgänge A und B hintereinander ab (also auch unabhängig voneinander, aber nicht in Konkurrenz zueinander), so werden die Wahrscheinlichkeitsamplituden multipliziert. Das gesamte Ereignis besteht dann im Ereignis A und zugleich B (nicht im Sinne von gleichzeitig). Man erhält dann eine Wahrscheinlichkeitsamplitude für das Ereignis A und zugleich B. Ψ(A Ç B) = Ψ (A)·Ψ(B) .
| Beispiel zu 2a: | Ein Quantenteilchen breite sich von der Quelle zu einem Spalt aus. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude, dass es dort ankommt, sei Ψ1. Mit einer Wahrscheinlichkeitsamplitude Ψ2 tritt es durch den Spalt. Mit einer Wahrscheinlichkeitsamplitude Ψ3 kommt das hindurchgetretene Teilchen bei einem Detektor an. Insgesamt ergibt sich für die Wahrscheinlichkeitsamplitude Ψ für einen Nachweis beim Detektor: Ψ = Ψ1·Ψ2·Ψ3. Wenn es keinen dazu konkurrierenden Vorgang gibt, gilt dann auch p = p1·p2·p3. Das erinnert an unabhängige Ereignisse der klassischen Wahrscheinlichkeitslehre. |
2. b) Laufen Vorgänge A und B parallel zueinander, aber unabhängig voneinander ab, so werden die Wahrscheinlichkeitsamplituden ebenfalls multipliziert. Man erhält dann eine Wahrscheinlichkeitsamplitude für das Ereignis A und zugleich B. Ψ(A Ç B) = Ψ(A)·Ψ(B) . Das spielt typischerweise eine Rolle bei Zweiteilchen-Zuständen, oder entsprechend, bei Mehrteilchen-Zuständen.
| Beispiele zu 2b: Vor allem anzuwenden bei Mehrteilchen-Fragestellungen. Je nachdem, ob die Teilchen unterscheidbar sind oder nicht, sind die entsprechenden Symmetrieregeln gegenüber Vertauschung der Teilchen für die Wahrscheinlichkeitsamplituden anzuwenden. | (2b1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in einem
He-Atom ein Elektron an einem Ort x1
nachzuweisen und das zweite an einem Ort x2?
Zunächst liegt der Ansatz Ψ(x1,x2) =
Ψ(A,x1)·Ψ(B,x2) nahe. Dabei wird
vereinfachend angenommen, dass ein Elektron in einem
Einelektronenzustand A und das andere in einem
Einelektronenzustand B ist. Eine Wechselwirkung der
Elektronen ist dabei ausgeschlossen. Da aber beim Nachweis nicht
entschieden wird, in welchem Zustand die beiden Elektronen sind,
kann zum Messergebnis auch beitragen, dass das Teilchen im Zustand
B am Ort x2 usw. nachgewiesen wird. Es kommt also zur
Interferenz mit einem zweiten Anteil Ψ(B,x1)·Ψ(A,x2)
, und weil die Wellenfunktion bei Fermionen wie den Elektronen
antisymmetrisch sein muss gegenüber Vertauschung beider Teilchen
ergibt sich insgesamt:
Ψ(x1,x2) = Ψ(A,x1)·Ψ(B,x2) - Ψ(B,x1)·Ψ(A,x2) (Die Ψs enthalten auch den Spin.)
. (2b2) Von einer Quelle Q1 werden Photonen ausgesandt, ebenfalls von der Quelle Q2. Detektor D1 und Detektor D2 registrieren je ein Photon. Der Ansatz Ψ(D1,D2) = Ψ(Q1,D1)·Ψ(Q2,D2) beschreibt das Ereignis: "ein Photon aus der Quelle Q1 wird vom Detektor D1 registriert und zugleich ein Photon aus der Quelle Q2 vom Detektor D2". Es gibt aber auch die Möglichkeit: "ein Photon aus der Quelle Q1 wird vom Detektor D2 registriert und zugleich ein Photon aus der Quelle Q2 vom Detektor D1". Das führt zu einem additiven Zusatzterm: Ψ(D1,D2) = Ψ(Q1,D1)·Ψ(Q2,D2) + Ψ(Q2,D1)·Ψ(Q1,D2) Wie bei allen Bosonen ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude symmetrisch gegenüber Vertauschung beider Teilchen. Bei Elektronen müssten beide Terme wieder subtrahiert werden. Die beiden Terme führen zur Interferenz. Es gibt keine entsprechende Beziehung für die Wahrscheinlichkeiten. (2b3) Bei unterscheidbaren Teilchen, wenn z.B. ein Elektron und ein Photon beteiligt sind, kommt nur ein einziger Term vor: Ψ(A Ç B) = Ψ(A)·Ψ(B) . Es ist eindeutig, von welcher Quelle die eine Sorte von Teilchen ausgeht, und von welcher die andere Sorte. |
3. Umgekehrt: Kann ein Ergebnis E auf unterschiedliche Weise A und B eintreten, so ist zu unterscheiden, ob der Beobachter, der das Ergebnis E registriert, prinzipiell entscheiden könnte, auf welchem Weg A oder B das Ergebnis E zustande gekommen ist (3a), oder ob der Beobachter das prinzipiell nicht entscheiden könnte (3b). Es handle sich um ein Einteilchen-Problem.
(3a) Im ersten Fall ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für E als Summe der Wahrscheinlichkeiten p(E) = p(A Ç E) + p(B Ç E), wenn also prinzipiell entschieden ist, ob E über den Weg A oder den Weg B erreicht wurde. Hier gibt es keine Interferenz. Dabei ist es gleichgültig, ob vom Beobachter die Entscheidung registriert wurde oder nicht.
| Beispiel zu 3a): | Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Quantenteilchen an
einer Stelle E der Interferenzfigur nachgewiesen wird, wenn eine
Messung durchgeführt ist, nach der der Beobachter prinzipiell
wissen könnte, ob das Teilchen durch Spalt A oder Spalt B gelaufen
ist: p(E) = p(A Ç E) + p(B Ç
E).
Durch Zähler sei entschieden, dass mit 1%iger Wahrscheinlichkeit ein Teilchen durch A auch E erreicht. Genauso sei entschieden, dass mit 1%iger Wahrscheinlichkeit ein Teilchen durch B auch E erreicht. Es ist gleichgültig, ob der Beobachter bei E die Entscheidung über den Durchtritt kennt. Die Wahrscheinlichkeit, dass er das Teilchen bei E misst, beträgt 2 %. |
(3b) Im zweiten Fall werden die Wahrscheinlichkeitsamplituden addiert: Ψ = Ψ(A Ç E) + Ψ(B Ç E) = Ψ(A)·Ψ(E/A) + Ψ(B)·Ψ(E/B) , wenn also prinzipiell nicht entscheidbar ist, ob E über den Weg A oder den Weg B erreicht wurde. In diesem Fall kann es zur Interferenz kommen.
| Beispiel zu 3b): | Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon an einer
Stelle E der Interferenzfigur beim Doppelspalt nachgewiesen wird,
wenn nicht durch eine Messung entschieden ist, ob das Teilchen
durch Spalt A oder Spalt B gelaufen ist: Ψ = Ψ(A)·Ψ(E/A) +
Ψ(B)·Ψ(E/B). Für beide (getrennten) Möglichkeit ergibt sich im
Beispiel eine Wahrscheinlichkeitsamplitude vom Betrag 0,1 (mit
unterschiedlichen Phasen). Die Situation entspricht dem Beispiel
1: Interferenz nicht entschiedener Möglichkeiten (Dort
heißen die beiden Summanden Ψ(A) und Ψ(B).).
Bei Fraunhoferscher Anordnung (parallel senkrecht auf den Spalt einfallende Photonen) sind Ψ(A) und Ψ(B) gleich und können ausgeklammert werden, und es gilt Ψ = Ψ(A)·( Y(E/A) + Ψ(E/B) ). Hier erkennt man noch leichter den Zusammenhang zu Beispiel 1. Dabei ist es gleichgültig, ob man die Wahrscheinlichkeitsamplituden als Zeiger oder Wellenfunktionen auffasst. |
Im Rahmen der klassischen Stochastik gibt es noch einige andere wichtige Begriffe. Es soll geklärt werden, unter welchen Umständen sie auch in der Quantenphysik anwendbar sind.
Stochastische Unabhängigkeit:
definiert durch p(A Ç B ) = p(A)·p(B). Wenn das gilt, sind die Ereignisse A und B stochastisch unabhängig.
Beispiele:
1. Es liege ein Zustand mit zwei "unabhängigen" (nicht gekoppelten, nicht verschränkten, aber unterscheidbaren) Tennisbällen (A und B) vor. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Tennisball A durch einen Spalt 1 geht, sei p(A,1) = 0,01, die Wahrscheinlichkeit, dass der Tennisball B durch den Spalt 2 geht, sei ebenfalls p(B,1) = 0,01. Abgesehen von extrem seltenen Fällen gegenseitiger Behinderung gilt also für die Wahrscheinlichkeit, dass A durch 1 und zugleich B durch 2 geht: p(A,1/B,2) = p(A,1)·p(B,2) = 0,0001. Unter dieser Voraussetzung sind die beiden Ereignisse stochastisch voneinander unabhängig.
2. In der Quantenphysik sind zwei Elektronen nicht unterscheidbar. Man kann also keine Aussagen über ein bestimmtes Elektron machen. Die Wahrscheinlichkeit, dass (irgendein) Elektron durch Spalt 1 tritt, sei p(1) = 0,01, entsprechend die Wahrscheinlichkeit p(2) = 0,01. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Elektron durch Spalt 1 und zugleich (aber unabhängig davon) ein weiteres Elektron durch Spalt 2 tritt? (zugleich nicht im Sinn von "gleichzeitig" aufgefasst).
Das Ergebnis für die Wahrscheinlichkeit hängt davon ab, ob ein Beobachter nach einer Messung prinzipiell wissen könnte, dass das registrierte Elektron durch einen bestimmten Spalt (1 oder 2) hindurchtritt, oder nicht.
Kann der Beobachter das nicht wissen, weil die Elektronen beim Durchtritt nicht registriert wurden, sind die Wahrscheinlichkeitsamplituden vom Betrag 0,1 phasengerecht zu subtrahieren:
Ψ(A,1/B,2) = Ψ(A,1)·Ψ(B,2)
Ψ(A,2/B,1) = Ψ(A,2)·Ψ(B,1) , also
Ψ = Ψ(A,1)·Ψ(B,2) - Ψ(A,2)·Ψ(B,1)
Es entsteht Interferenz. Offenbar ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Elektronen durch einen gemeinsamen Spalt (1 = 2) hindurchtreten ebenso 0 wie die Wahrscheinlichkeit, dass sie am gleichen Ort (A = B) nachgewiesen werden. (Im Fall von Bosonen sind die Produkte zu addieren.)
Könnte der Beobachter das aber prinzipiell wissen, weil die Elektronen beim Durchtritt registriert wurden, ganz gleich, ob er das Ergebnis dieser Messung zur Kenntnis nimmt oder nicht, gilt wie im klassischen Fall: p(A,1/B,2) = p(A,1)·p(B,2) = 0,0001.
| Im Sinne der Kolmogorow-Axiome sind also Quantenteilchen nur dann stochastisch unabhängig, wenn durch eine Messung registriert wurde, ob das nachgewiesene Teilchen durch Spalt 1 oder 2 ging, wenn also zwischen den Möglichkeiten entschieden wurde. |
p(A Ç B) = p(A)·p(B/A) ; p(B/A) ist dabei die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von B unter der Bedingung, dass A eingetreten ist.
| Beispiel: | B sei Ereignis "Teilchen auf Schirm gemessen", A sei "Durchtritt
durch Spalt A"
p(A Ç B) ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen durch Spalt A getreten und dann auf dem Schirm nachgewiesen ist. p(A) Wahrscheinlichkeit für Durchtritt durch A p(B/A) ist bedingte Wahrscheinlichkeit, dass B unter der Bedingung A eingetreten ist, dass also das Teilchen auf dem Schirm nachgewiesen, nachdem es durch A hindurchgetreten ist. Gilt p(A Ç B) = p(A)·p(B/A) ? Gilt nicht vielmehr Ψ(A Ç B) = Ψ(A)·Ψ(B/A) ? Beide Aussagen sind aber äquivalent, da p(A Ç B) = /Ψ(A Ç B)/2 = Ψ(A Ç B) · Ψ*(A Ç B) = Ψ(A)·Ψ*(A) · Ψ(B/A)·Ψ*(B/A) = /Ψ(A)/2 · /Ψ(B/A)/2 (Ψ* ist das Konjugiert-Komplexe zu Y)
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| Wahrscheinlichkeitsbäume lassen sich nur dann wie in der klassischen Stochastik einsetzen, wenn über die tatsächlichen Verzweigungen durch Messungen entschieden wurde. |
(zuletzt aktualisiert 2012; Zeichensatz geändert 2013)