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SG132 Das Flächenverfahren der Mechanik

Geschwindigkeit

Geschwindigkeitskonzept

Glossar

Physik für Schülerinnen und Schüler

Das Flächenverfahren ist eine anschauliche Methode, um in der Bewegungslehre bei einfachen Zeitabhängigkeiten Integrationen durchzuführen. So kommt man bei der in der Schule meist konstanten Beschleunigung vom t-a-Diagramm für einen Zeitabschnitt Δt von der Anfangsgeschwindigkeit v0 zu Beginn des Zeitintervalls zur Geschwindigkeit v am Ende des Zeitintervalls mittels v = v0 + Δv, wobei die Geschwindigkeitsänderung Δv gerade der Rechtecksfläche unter dem t-a-Diagramm im Zeitabschnitt Δt entspricht. Ganz entsprechend kommt man im t-v-Diagramm vom Anfangsort x0 zu Beginn des Zeitintervalls Δt zum Ort x am Ende des Zeitabschnitts durch x = x0 + Δx, wobei die Ortsänderung Δx gerade der Dreiecks- oder Trapezfläche unter dem t-v-Diagramm im Zeitabschnitt Δt entspricht*). Das lässt sich für solch einfache Fälle leicht plausibel machen oder beweisen; für allgemeinere Fälle, wenn a oder v nicht konstant sind, lässt es sich plausibel machen, indem die Zeitabschnitte Δt so klein gewählt, dass in ihnen a bzw. v zumindest in guter Näherung konstant sind.

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Von a zu x mit dem Flächenverfahren, von x zu a mit der Steigung

Das Verfahren ist leicht anwendbar und leicht zu merken, berücksichtigt immer korrekt die jeweiligen Anfangsbedingungen v0 und x0, kann auch in komplexeren Fällen (z.B: Überholvorgängen mit Anfangsbedingungen) geometrisch ohne Formelkenntnis angewendet werden, und ermöglicht es, von dem leichter zu durchschauenden t-v-Diagramm zum komplexeren t-x-Diagramm zu kommen.


*) Hier wird etwas gemogelt: Eine Fläche ist immer positiv, dagegen können Ortsänderung und Geschwindigkeitsänderung beide Vorzeichen haben. Wenn man sich aber gar nicht um die Vorzeichen kümmert, sondern allgemein mit den Seiten des Rechtecks, Δv und Δt z.B., rechnet, unabhängig von deren Vorzeichen, kommt man zum vorzeichenrichtigen Ergebnis. Beispiel: negatives Δv < 0, positives Δt. Die Fläche wäre /Δv/·Δt = - Δv·Δt. Die Ortsänderung Δx ist in diesem Fall aber negativ, also Δx = Δv·Δt.

In der Zeichnung oben sind Δv und Δt positiv. Die Fläche bestimmt eigentlich den Weg s im Zeitintervall Δt. Dieser stimmt hier aber mit der Ortsänderung Δx überein: Δx = Δv·Δt. Die Problematik entspricht dem Unterschied zwischen Fläche unter einem Funktionsgraphen und dem Integral.

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( September 2013 )