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SG074   Bei Gravitationsfeld oder Coulombfeld für gebundene Teilchen: Ekin = - 1/2·Epot

kinetische Energie

potenzielle Energie

Glossar

Physik für Schülerinnen und Schüler

In beiden Feldern gilt für den Betrag der Kraft auf einen Probekörper (der Masse m bzw. der Ladung q) F prop. 1/r2 bzw. F = k/r2 .

Betrachte einen Planeten, der einen Zentralkörper umkreist. Auf einer Kreisbahn mit dem Radius r gilt bei einer Kreisfrequenz ω = 2·π·f:

(1) a = ω2·r  = v2/r

Daraus folgt die kinetische Energie

(2) Ekin = m/2 · a·r = F/2·r        ( F = m·a ist die Kraft, mit der der Planet an der Stelle r vom Zentralkörper angezogen wird).

Andererseits gilt für die potenzielle Energie beim Radius r (gleich der Verschiebungsarbeit vom Unendlichen bis zum Radius r):

(3) Epot = - F·r    (das ließe sich wie unten durch eine Integration zeigen)

also

     Ekin = - 1/2·Epot   

Da auch für den Fall eines Coulombfelds eine Kraft vom gleichen Typ vorliegt, gilt diese Beziehung auch hier. Sie erleichtert viele Berechnungen im Coulombfeld oder Gravitationsfeld.

Die Gesamtenergie E =  Epot + Ekin    =  -  Ekin  = 1/2·Epot ist also negativ, wie es für einen Planeten oder ein gebundenes Teilchen sein muss; ihm fehlt ja die Energie, mit der es abgelöst werden könnte.


Nachweis für Epot = - F·r:

Um eine Masse m von einem sehr großen Radius R an eine Stelle mit dem Radius r' heranzuführen, verrichtet das Feld die Arbeit

W = - ∫ (von R bis r') F·dr   (Minuszeichen, weil Kraft F und Integrationsrichtung - dr - entgegengesetzt). Diese Arbeit wird bei der Verschiebung frei, also

Epot = - W

= k · ∫  1/r2 dr

= k ( - 1/r ) | von R bis r'

= - k (1/r' - 1/R)

lässt man jetzt R => Unendlich gehen, entsteht

Epot = - k/r'

An der Stelle r' wirkt aber die Kraft F = k/r'2 (Betrag) und es gilt Epot = - F·r' < 0

(im Text oben muss statt r' wieder r geschrieben werden).

Wenn man weiß, dass im Gravitationsfeld einer Masse M mit F = k/r2 gilt: Epot = - k/r folgt die Aussage schneller: F = - Epot /r  .

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( Juni 2014 )