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© Horst Hübel Würzburg 2005-2011

Das 2. Gesetz von Newton

Beim PKW ist es klar: Möchte man einen PKW mit einer bestimmten Masse stärker beschleunigen, vergrößert man mittels des Gaspedals die Antriebskraft oder lässt gar einen Motor einbauen, der eine größere Antriebskraft entwickeln kann. Mit zunehmender Kraft  F wächst also die Beschleunigung a bei fester Masse m (bei fester Trägheit). Beim "Ampelproblem" kann der Radfahrer trotz kleinerer Antriebskraft stärker beschleunigen als der Kieslaster, weil er eine sehr viel kleinere Masse hat. Bei einer festen Kraft sollte also die Beschleunigung a mit zunehmender Masse m (Trägheit) sinken.

Es ist zu vermuten, dass eine doppelt so große (3-fache, ... ) Antriebskraft F bei einem Körper fester Masse m auch eine doppelt so große (3-fache, ... ) Beschleunigung a zur Folge hat. Und um einen Körper mit doppelter (3-facher, ... ) Masse in gleicher Weise zu beschleunigen,  vermutet man auch eine doppelte (3-fache, ... ) Kraft.

Versuch zum Zusammenhang zwischen beschleunigender Kraft F und Beschleunigung a bei einer festen Masse.

Als Antriebskraft F wird die Gewichtskraft auf einen Antriebskörper verwendet.

Es wird sowohl der Wagen als auch der Antriebskörper beschleunigt. Die Masse, die hier eingeht, ist die gesamte Masse, die beschleunigt wird. Sie wird Gesamtmasse m genannt. Damit die Masse bei Verdoppelung, Verdreifachung, ... der Antriebskraft konstant bleibt, müssen die Antriebskörper aus einem Vorrat auf dem Wagen genommen werden.

Hier wird gezeigt, wie man die Masse konstant hält, wenn man einen Antriebskörper aus dem Vorrat auf dem Wagen umlegt, so dass die Antriebskraft verdoppelt wird.

Besonders einfach ist es, wenn man die jeweilige Beschleunigung mit einem Sonarmeter misst.

Messung der Beschleunigung a mit dem Sonarmeter

Es wird ein t-v-Diagramm aufgenommen wie links dargestellt. Die Steigung des t-v-Diagramms ist die Beschleunigung a: Geschwindigkeitsänderung pro Zeitabschnitt. Auf dem Bildschirm wird ein Steigungsdreieck eingetragen. Glatte Werte für Δt erleichtern die Berechnung von a = Δv/Δt.

Vorteil dieser Methode der Beschleunigungsmessung ist, dass - abgesehen von einer horizontalen Ausrichtung der Fahrbahn - keinerlei Justierarbeiten nötig sind, und dass die Bedeutung der Beschleunigung als Steigung des t-v-Graphen (bzw. Geschwindigkeitsänderung Δv pro Zeitabschnitt Δt) im Gedächtnis präsent bleibt.

Mit dem Programm SONAR.EXE ist die Messung auf diese Weise besonders einfach, da ein mitlaufendes Steigungsdreieck auf den Bildschirm gezeichnet werden kann. Wählt man einen einfachen Wert für Δt, lässt sich die Steigung dann im Kopf berechnen.

t-v-Graphen, (im Prinzip) aufgenommen mit dem Sonarmeter bei konstanter Masse, aber unterschiedlichen Antriebskräften (0,01 N, 0,02 N, ... ). Aus der Steigung ergeben sich unterschiedliche Beschleunigungen (0,1 m/s2,  0,2 m/s2,  0,3 m/s2, ... ).

Rechne die Beschleunigungen mit dem Steigungsdreieck nach.


Es ergibt sich z.B. das a-F-Diagramm links. Es folgt also:

1. F prop. a

2. m = F/a

Damit lautet das 2. Gesetz von Newton:

Jede Kraft F ruft an einem Körper der Masse m eine Beschleunigung hervor, die sich aus F = m·a errechnet.

Später wirst du feststellen, dass das Gesetz sogar vektoriell gilt:

    F = m·a  

In der vektoriellen Form steckt zusätzlich noch die Aussage, dass Kraft F und Beschleunigung a immer gleichgerichtet sind.

Das hattest du auch schon mittels der folgenden Zeichnung an der schiefen Ebene kennen gelernt: Durch die Hangabtriebskraft wird der Wagen hangabwärts beschleunigt.

Die Richtung des Beschleunigungsvektors a ist hier durch Δv eingetragen.

Abb. 2 Ergebnisbeispiel. Die Steigung ist hier 225 g, die Masse des Wagens mit Aufsätzen 200 g. In guter Näherung stimmt die Steigung des a-F-Graphen mit der Masse überein.

Grund für die hier gemessenen Abweichungen?

Einfluss des Trägheitsmoments der Umlenkrolle? Kleine Fehler in der Beschleunigungsmessung, da die Schallgeschwindigkeit nicht den für die herrschende Temperatur gültigen Wert verwendete?

Aber kann das 2. Gesetz von Newton wirklich stimmen?

Betrachte einen PKW, der auf der geradlinigen und horizontalen Autobahn mit Vollgas fährt. Die auf ihn wirkende Antriebskraft FA wird vielleicht maximal sein, aber die Beschleunigung ist 0, da der PKW bereits seine Höchstgeschwindigkeit erreicht hat. Trotz maximaler Kraft keine Beschleunigung? Dies scheint dem 2. Gesetz von Newton zu widersprechen.

Der Fehler in der Überlegung ist, dass eine weitere Kraft außer Acht gelassen wurde, die Reibungskraft (zusammengesetzt aus Luftreibungskraft und Reibung zwischen Rädern und Straße). Die Reibungskraft  FR ist entgegengesetzt zur Antriebskraft FA gerichtet. Tatsächlich hebt in diesem Fall die Reibungskraft die Antriebskraft gerade auf. Die Gesamtkraft auf den PKW ist 0, genauso wie die Beschleunigung!

Also: Du musst dir zum 2. Gesetz von Newton mit hinzu denken, dass F immer die Gesamtkraft ist, die auf den Körper wirkt.

Also endgültig:

2. Gesetz von Newton:

Jede Kraft F ruft an einem Körper der Masse m eine Beschleunigung a hervor, die sich aus

         F = m·a       

errechnet. F ist dabei die Gesamtkraft, die auf den Körper wirkt. F und a sind immer gleichgerichtet. Jede Beschleunigung a erfordert eine Kraft F = m·a .

Aus der Beschleunigung a ergibt sich die Geschwindigkeitsänderung Δv und die Ortsänderung Δx in einem Zeitabschnitt Δt. Mit den Anfangsbedingungen (Anfangsgeschwindigkeit v0 und Anfangsort x0) erhältst du damit die Geschwindigkeit v und den Ort x am Ende des Zeitabschnitts Δt. Dieses Programm heißt Kausalität. Kausalität ist m.E. die wichtigste Folgerung aus dem 2. Gesetz von Newton. Sie wird grob im folgenden Schema dargestellt:

F  => a  =>    Δv, Δx  =>    v = v0 + Δv,      x = x0+ Δx

Wegen der Kausalität nenne ich das 2. NG häufig das "Prophetie-Gesetz der Mechanik", weil es erlaubt, bei bekannten Anfangsbedingungen und bekannter Kraft eine Bewegung für alle Zukunft vorherzusagen (wenigstens im Prinzip).

Aufgabe:

Zeichne zum oben gezeichneten t-v-Diagramm ein a-F-Diagramm. Ermittle aus ihm die Masse m des beschleunigten Körpers.

( Zusatzfrage:  Warum fällt die Geschwindigkeit plötzlich auf 0 ab? Wie lang ist die Fahrbahn? )


Hinweis:

Damit ist klar, dass das 1. Gesetz von Newton, wenn man allein den Wortlaut seiner Formulierung  betrachtet, im 2. Gesetz enthalten ist. Wegen F = m·a folgt aus F = 0 auch a = 0. Das gilt sogar vektoriell (F prop. a). Diese Aussage steckt auch im 1. NG . Dieses enthält indirekt aber auch das Trägheitsprinzip und die qualitative Definition des Kraftbegriffs.

Eine Diskussion des logischen Gehalts der Newton'schen Gesetze findest du hier.